Day09_偏序关系

离散数学——偏序关系

定义

设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、反对称的、传递的，则称 R 为 A 上的偏序关系(partial order relation), 记为“⩽”. 读作“小于等于”, 并将“< a, b >∈⩽”记为a ⩽ b. 序偶 < A, ⩽> 称为偏序集 (partial order set).

注意

用“⩽”来表示偏序关系是由于“小于等于关系”是偏序关系的典型范例, 此时已不局限于” 小于等于” 关系, 它指代的是在偏序关系中元素之间的先后顺序, 不局限于通常的数的大小;

可比与覆盖

定义

设 R 是非空集合 A 上的偏序关系,∀x, y ∈ A,

如果 x ⩽ y 或 y ⩽ x, 则称 x 与 y 可比;

如果 x ⩽ y 且不存在 z ∈ A 使得 x ⩽ z ⩽ y, 则称 y 覆盖 x.

例

正整数集合上的整除关系中,2 与 4 可比,6 与 3 可比,4 和 3 不可比;4 和 6 覆盖 2，但 8、12 等均不覆盖 2.A = {1, 2, 3, 4} 的幂集上的包含关系中,{1} 和 {1, 2} 可比,{1} 和 {2} 不可比,{1, 2} 和 {1, 3, 4} 不可比;{1, 2} 覆盖 {1} 和 {2}

百词斩