Day07_集合的划分_英语学习

离散数学

等价关系

Definition

设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、对称的、传递的，则称 R 为 A 上的等价关系(equivalent relation).

Example

同姓关系, 等于关系都是等价关系; 而朋友关系, 包含关系都不是等价关系.

在所有的英文单词中建立关系 R,aRb 当且仅当 a 和 b 的长度相同，则关系 R 是等价关系.

在包含各种颜色的球的集合中建立关系 S,aSb 当且仅当 a 和 b 的颜色相同，则关系 S 是等价关系.

以 n 为模的同余关系

Example

设 n 为正整数，定义整数集合 Z 上的以 n 为模的同余关系 R = {< x, y > |n|(x − y)}, 证明 R 是一个等价关系.

Proof

1 自反性: 对任意 x ∈ Z, 有 n|(x − x), 所以 < x, x >∈R，即 R 是自反的;

2 对称性: 对任意 x, y ∈ Z, 若 < x, y >∈R, 则有 n|(x− y), 因为 (y − x) = −(x − y), 所以n|(y− x), 从而 < y, x >∈R, 即 R 是对称的;

3 传递性: 对任意 x, y, z ∈ Z，若 < x, y >∈ R 且 < y,z >∈ R，则有 n|(x − y) 且 n|(y − z)。因为 (x − z) = (x − y) + (y − z), 所以 n|(x − z), 从而 < x,z >∈ R，即 R 是传递的.

由 (1),(2) 和 (3) 知，R 是 Z 上的等价关系

等价关系-> 集合划分

Theorem

设 R 是非空集合 A 上的等价关系，则 A 对 R 的商集 A/R 是 A 的一个划分，称为由 R 所导出

的等价划分.

Example

设集合 A = {0, 1, 2, 4, 5, 8, 9}, 则

A 上以 4 为模的同余关系 R 导出的划分为,

A/R = {[0]R, [1]R, [2]R} = {{0, 4, 8}, {1, 5, 9}, {2}};

A 上以 3 为模的同余关系 S 导出的划分为,

A/S = {[0]S, [1]S, [2]S} = {{0, 9}, {1, 4}, {2, 5, 8}}.

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