图上随机游走期望步数存在性

有环有向图上随机游走，求到达一个点的期望步数，期望是否存在？

UPD :发现APIO2025讲课ppt里有另一种证法
如果从起点能走到一个点，而从这个点出发不能到终点，则显然期望不存在，而其他情况下可以证明是存在的。

把终点挖去。设 \(p_{i,j}\) 是概率转移矩阵，则要解方程

\[(I-P)E=1 \]

\(1\) 是全一列向量。（如果边的时间可以不同则做相应修改）

现在要证 \(I-P\) 可逆。

考虑只要证级数

\[S=\sum_kP^k \]

收敛，则自然有 \((I-P)S=I\) 即 \(S\) 为逆。

下面使用矩阵无穷范数

\[\|A\|=\max_i\sum_j|a_{i,j}| \]

因为所有点能到终点。

\[\forall i \ , \exists m_i \ ,\sum_j(P^{m_i})_{i,j}<1 \]

固定 \(i\)

\[\forall n>m_i\\ \sum_j(P^n)_{i,j}=\sum_{k,j}(P^{m_i})_{i,k}(P^{n-m_i})_{k,j}\leq\sum_{k}(P^{m_i})_{i,k}<1 \]

于是取 \(M=\max_i m_i\)

\[\forall i \space \space \sum_j(P^M)_{i,j}<1 \]

故 \(\|P^M\|<1\) 这足以证明收敛。