时间复杂度

时间复杂度指输入数据大小为 N 时，算法运行所需花费的时间。统计的是算法的「计算操作数量」，而不是「运行的绝对时间」。因为算法运行时间受到「编程语言 、计算机处理器速度、运行环境」等多种因素影响。

例如，同样的算法使用 Python 或 C++ 实现、使用 CPU 或 GPU 、使用本地 IDE 或力扣平台提交，运行时间都不同。

根据输入数据的特点，时间复杂度具有「最差」、「平均」、「最佳」三种情况，分别使用O，Θ，Ω 这三种符号表示。

根据从小到大排列，常见的算法时间复杂度主要有：

O(1) < O(log N) < O(N) < O(N log N) < O(N²) < O(2^N) < O(N!)

 

1、常数 O(1) ：

运行次数与 N 大小呈常数关系，即不随输入数据大小 N 的变化而变化。

2、线性 O(N) ：

循环运行次数与 N 大小呈线性关系，时间复杂度为 O(N) 。

def algorithm(N):
    count = 0
    for i in range(N):
        count += 1
    return count

3、平方 O(N²)：

两层循环相互独立，都与 N 呈线性关系，因此总体与 N 呈平方关系，时间复杂度为 O(N²)。 

def algorithm(N):
    count = 0
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            count += 1
    return count

4、指数 O(2^N)：

生物学科中的 “细胞分裂” 即是指数级增长。初始状态为 1 个细胞，分裂一轮后为 2 个，分裂两轮后为 4 个，……，分裂 N 轮后有 2^N个细胞。指数阶常出现于递归。 

def algorithm(N):
    if N <= 0: return 1
    count_1 = algorithm(N - 1)
    count_2 = algorithm(N - 1)
    return count_1 + count_2

 5、阶乘 O(N!)：

阶乘阶对应数学上常见的 “全排列” 。即给定 N 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为：N×(N−1)×(N−2)×⋯×2×1=N! 

def algorithm(N):
    if N <= 0: return 1
    count = 0
    for _ in range(N):
        count += algorithm(N - 1)
    return count

 6、对数 O(logN) ：

对数阶与指数阶相反，指数阶为 “每轮分裂出两倍的情况” ，而对数阶是 “每轮排除一半的情况” 。对数阶常出现于「二分法」、「分治」等算法中，体现着 “一分为二” 或 “一分为多” 的算法思想。 

def algorithm(N):
    count = 0
    i = N
    while i > 1:
        i = i / 2  # >=2
        count += 1
    return count

7、线性对数 O(NlogN) ：

两层循环相互独立，第一层和第二层时间复杂度分别为O(logN) 和 O(N) ，则总体时间复杂度为 O(NlogN)。 线性对数阶常出现于排序算法，例如「快速排序」、「归并排序」、「堆排序」等

def algorithm(N):
    count = 0
    i = N
    while i > 1:
        i = i / 2
        for j in range(N):
            count += 1

说明：此图为每个节点执行N次，然后外部执行logN次（因为一分为二）。