这是一道无比涨姿势的题目

首先总结一下这种输入几个数的题目,

一般不是递推就是数学题

显然,这道题用递推是无法做到O(n)的复杂度的

那我们就考虑这是一道数学题了

我已开始纠结在正向思维了,正向求好像确实不容易;

某牛的报告点醒了我,我们设符合条件的序列为x,不符合的为y

则x+y=c(n+m,n);

现在我们只要求出y即可

然后弱渣的我又卡住了,

还是大牛的报告引用:我们不妨将0看做-1,那么对于一个不合法的序列,必然存在一个位置使得前缀和为-1,我们设这个最小的位置为k,即:a1+a2+……ak=-1,那么前缀和k-1为0,且ak=-1。接着,若我们将所有n+m个的这前k个数字取反,那么得到一个新的数列含有n+1个1和 m-1个-1,这个新的数列有C(n+m,n+1)种。不合法序列与新构造的这个序列是一一对应的关系。

太神了。怎么想到的orz

所以,ans=c(n+m,n)-c(n+m,n+1);

因为n>m, 所以c(m+n,n)-c(n+m,n+1);

(其实现在来看,这就是一个经典的卡特兰数的模型的变形)

由于是组合还需要取模,就要涉及到除法取模;

能回避除法取模的递推法(杨辉三角)复杂度肯定会TLE,

然后我又涨姿势了,

a/b ac (mod p);

bc ≡1 (mod p) 我们把c叫做b的乘法逆元;

一个数a除以另一个数b同余于a乘以b的乘法逆元模p

怎么证呢?

我们把乘法逆元的式子变换一下得 bc=pk+1 k∈Z

则b=(pk+1)/c

则a/b=a*c*(pk+1)≡ac (mod p)

乘法逆元存在的充要条件是gcd(b,p)=1

由于p=20100403>n+m,且是一个质数

显然gcd(b,p)=1;

那么怎么求乘法逆元呢?

看到之前的变换式我们也不难想到,扩展欧几里得

这道题唯一让我欣慰的地方就是,扩展欧几里得写对了……

 1 const mo=20100403;
 2 var ans:int64;
 3     n,m,i:longint;
 4 
 5 procedure exgcd(a,b:int64;var x,y:int64);
 6   var xx,yy:int64;
 7   begin
 8     if b=0 then
 9     begin
10       x:=1;
11       y:=0;
12     end
13     else begin
14       exgcd(b,a mod b,x,y);
15       xx:=x;
16       yy:=y;
17       x:=yy;
18       y:=xx-a div b*yy;
19     end;
20   end;
21 
22 function re(a,p:int64):int64;
23   var x,y:int64;
24   begin
25     exgcd(a,p,x,y);
26     x:=(x+mo) mod mo;
27     exit(x);
28   end;
29 
30 function get(x:int64):int64;
31   var i:int64;
32   begin
33     i:=1;
34     get:=1;
35     while i<x do
36     begin
37       inc(i);
38       get:=get*i mod mo;
39     end;
40   end;
41 
42 function c(x,y:int64):int64;
43   var a,b,d:int64;
44   begin
45     a:=get(x);
46     b:=get(y);
47     d:=get(x-y);
48     c:=a*re(b,mo) mod mo*re(d,mo) mod mo;
49   end;
50 
51 begin
52   readln(n,m);
53   ans:=c(n+m,n)-c(n+m,n+1);
54   ans:=(ans+mo) mod mo;
55   writeln(ans);
56 end.
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posted on 2014-05-04 22:06  acphile  阅读(223)  评论(0编辑  收藏  举报