最优前缀码

1.问题

给定字符集C={x1,x2,...xn}和每个字符的频率f(xi)，求关于C的最优前缀码

2.解析

构造最优前缀码的贪心算法就是哈夫曼编码。

下面给出证明哈夫曼编码是求解最优前缀码的其中一种解法。

引理1：给定字符集C={x1,x2,..xn}以及每个字符的频率f(xi),以此来构造哈夫曼树，假设xi和xj是出现频率最小的两个节点。

则这两个节点是兄弟节点，同时，这两个节点在二叉树中的深度不小于其他任意一个叶子节点的深度。

证明：如果xi和xj不是深度最深的节点，则假设存在一点xk的深度大于xi和xj，根据哈夫曼树的构造规则，

xk的出现频率是小于xi和xj与所给的条件相冲突。同时因为xi和xj是最小的两个节点，那么除去xi之后就会选择xj那么他们必是兄弟节点。

定理1：哈夫曼编码是最优的

下面用数学归纳法证明。

1.当所给的点数为两个的时候,即n=2时，由于树只有两种可能，两种树　　在哈夫曼树下的最小权重外部路径是一样的。

2.假设n-1个叶子节点的哈夫曼树是成立的。

推导：设f（x1）<f(x2)<...<f(xn)，灵v是x1和x2的父亲节点，由引理1知，不存在叶子节点深度大于x1和x2的深度。

若存在，我们可以将他们与w1和w2进行交换，得到更小的WPL，按例如以下方式得到到二叉树T：以结点V'替换结点V, 当中V'的权重是x1+x2，则T'是对应于{w1+w2,w3,...,wn}的一棵哈夫曼树。依据归纳如果。T具有最小权重外部路径，T是最优的（EPW最小）。在T'的结点V'上加入叶结点x1, x2。可得T。则T是具有最小权重外部路径的哈夫曼树。

可得定理一是正确的。

下面来看哈夫曼构造哈夫曼树的过程。

实例{2,3,4,4,5,7,8}