VAR算法

向量自回归模型，简称VAR模型，是AR 模型的推广，是一种常用的计量经济模型。在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型。

单变量的时间序列的分析模式可以推广到多变量时间序列，建立向量自回归模型。向量自回归模型通常用于描述多变量时间序列之间的变动关系。

多变量时间序列具有一个以上的时间依赖变量。每个变量不仅取决于其过去的值，而且还对其他变量有一定的依赖性。

在VAR模型中，每个变量是其自身过去值和所有其他变量的过去值的线性函数。

模型的基本形式是弱平稳过程的自回归表达式，描述的是在同一样本期间内的若干变量可以作为它们过去值的线性函数。

在VAR模型中，必须保证时间序列稳定。如果不能保证时间序列稳定，那么会导致两种结果：

第一，向量自回归系数的估计值是负数，做完 t 检验后，得到的结果是无效的；
第二，两个独立变量的相关关系或者回归关系是假的，使得模型的结果无效。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.api import VAR
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, grangercausalitytests
from statsmodels.stats.stattools import durbin_watson
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

# 设置中文显示
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 1. 生成示例数据
np.random.seed(42)
n_obs = 200
date_range = pd.date_range(start='2010-01-01', periods=n_obs, freq='M')

# 生成三个相关的时间序列
data = pd.DataFrame(index=date_range)
data['GDP'] = np.cumsum(np.random.normal(0.5, 0.2, n_obs)) + 100
data['Inflation'] = np.sin(np.arange(n_obs) * 0.1) + np.random.normal(0, 0.1, n_obs) + 2
data['Unemployment'] = np.cos(np.arange(n_obs) * 0.05) + np.random.normal(0, 0.1, n_obs) + 5

# 2. 数据可视化
plt.figure(figsize=(12, 8))
for i, col in enumerate(data.columns, 1):
    plt.subplot(3, 1, i)
    plt.plot(data.index, data[col])
    plt.title(f'{col} 时间序列')
    plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# 3. 平稳性检验
print("平稳性检验 (ADF检验):")
for col in data.columns:
    result = adfuller(data[col])
    print(f"{col}: ADF统计量 = {result[0]:.4f}, p值 = {result[1]:.4f}")

# 4. 格兰杰因果检验
print("\n格兰杰因果检验:")
max_lag = 4
for col1 in data.columns:
    for col2 in data.columns:
        if col1 != col2:
            print(f"{col2} -> {col1}:")
            test_result = grangercausalitytests(data[[col1, col2]], maxlag=max_lag, verbose=False)
            p_values = [test_result[i+1][0]['ssr_chi2test'][1] for i in range(max_lag)]
            print(f"  p值: {[f'{p:.4f}' for p in p_values]}")

# 5. 差分处理使数据平稳
data_diff = data.diff().dropna()

# 6. 确定最佳滞后阶数
model = VAR(data_diff)
lag_results = model.select_order(maxlags=10)
print(f"\n最佳滞后阶数: {lag_results.selected_orders}")

# 7. 拟合VAR模型
best_lag = lag_results.selected_orders['aic']
var_model = model.fit(best_lag)
print("\n模型摘要:")
print(var_model.summary())

# 8. 残差检验
print("\nDurbin-Watson检验 (接近2表示无自相关):")
residuals = var_model.resid
dw_results = durbin_watson(residuals)
for i, col in enumerate(data.columns):
    print(f"{col}: {dw_results[i]:.4f}")

# 9. 预测
forecast_steps = 12
forecast = var_model.forecast(y=data_diff.values[-best_lag:], steps=forecast_steps)
forecast_index = pd.date_range(start=data.index[-1] + pd.DateOffset(months=1), 
                              periods=forecast_steps, freq='M')

# 将差分预测值转换为原始尺度
last_values = data.iloc[-1].values
forecast_original = np.zeros_like(forecast)
for i in range(forecast_steps):
    if i == 0:
        forecast_original[i] = last_values + forecast[i]
    else:
        forecast_original[i] = forecast_original[i-1] + forecast[i]

forecast_df = pd.DataFrame(forecast_original, index=forecast_index, columns=data.columns)

# 10. 可视化预测结果
plt.figure(figsize=(14, 10))

# 绘制每个变量的历史数据和预测
for i, col in enumerate(data.columns, 1):
    plt.subplot(3, 1, i)
    plt.plot(data.index, data[col], label='历史数据')
    plt.plot(forecast_df.index, forecast_df[col], label='预测', color='red', linestyle='--')
    plt.title(f'{col} - 历史数据与预测')
    plt.legend()
    plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 11. 脉冲响应分析
irf = var_model.irf(periods=20)
irf.plot(orth=False, figsize=(12, 10))
plt.suptitle('脉冲响应函数', fontsize=16)
plt.tight_layout()
plt.show()

# 12. 方差分解
fevd = var_model.fevd(periods=20)
fevd_summary = fevd.summary()
print("\n方差分解:")
print(fevd_summary)

# 13. 预测评估（如果需要测试集）
train_size = int(len(data) * 0.8)
train_data = data.iloc[:train_size]
test_data = data.iloc[train_size:]

# 在训练数据上重新拟合模型
train_diff = train_data.diff().dropna()
var_model_train = VAR(train_diff).fit(best_lag)

# 预测测试集
forecast_test = var_model_train.forecast(y=train_diff.values[-best_lag:], steps=len(test_data))

# 计算预测误差
from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error

for i, col in enumerate(data.columns):
    mse = mean_squared_error(test_data[col].iloc[1:], forecast_test[1:, i] + train_data[col].iloc[-1])
    mae = mean_absolute_error(test_data[col].iloc[1:], forecast_test[1:, i] + train_data[col].iloc[-1])
    print(f"{col} - MSE: {mse:.4f}, MAE: {mae:.4f}")

保证VAR模型估计结果有效、可靠和无偏的技术性要求。

平稳性
- 核心要求：这是最重要也是最基本的前提。VAR模型要求所有时间序列数据都必须是平稳的。
- 为什么？非平稳序列（具有趋势或单位根）会导致“伪回归”问题，即模型显示出很高的R²和显著的t统计量，但变量间实际上没有真实的经济关系，结果完全无效。
- 如何处理：在使用VAR前，必须对所有变量进行单位根检验（如ADF检验、PP检验）。如果序列非平稳，有两种处理方法：
  - 差分：对非平稳序列进行差分，使其变为平稳序列，然后建立VAR模型。但这会丢失变量的水平值信息。
  - 协整检验：如果多个非平稳序列之间存在长期均衡关系（即它们是协整的），则应建立向量误差修正模型（VECM），它是包含水平值信息的VAR模型。
不存在严重的多重共线性
- 核心要求：变量之间不应存在高度的线性相关关系。
- 为什么？虽然VAR对多重共线性不像OLS那么敏感（因为它使用相同的滞后项），但严重的多重共线性仍然会导致参数估计的标准误增大，使得t检验失效，难以判断系数的显著性。

问题本质：当两个变量（例如X和Y）高度相关时，它们的滞后项（Xₜ₋₁, Yₜ₋₁, Xₜ₋₂, Yₜ₋₂...）也会高度相关。这意味着模型很难区分到底是X的滞后项在影响当前值，还是Y的滞后项在影响当前值

如何处理：检查变量间的相关系数矩阵。如果发现高度相关，可以考虑删除其中一个变量，或者使用主成分分析（PCA）提取综合指标。

3. 残差检验

- 模型估计完成后，必须对残差项进行检验，以确保模型设定是正确的。
- 无自相关：残差序列自身不应存在相关性。常用Portmanteau检验或 LM检验。如果残差存在自相关，通常意味着滞后阶数p选择不足，需要增加滞后阶数。
- 无异方差：残差的方差应保持恒定。异方差会影响估计效率。
- 正态性（可选但推荐）：虽然估计VAR本身不需要正态假设，但在进行脉冲响应分析或方差分解时，如果残差服从多元正态分布，结果会更稳健。常用Jarque-Bera检验。

4. 模型稳定性

- 核心要求：估计出的VAR模型必须是稳定的。
- 为什么？一个稳定的VAR模型，其脉冲响应函数才会是收敛的（冲击的影响会逐渐消失），方差分解才有意义。不稳定的模型会产生发散的反应，无法用于分析和预测。
- 如何检验：计算模型的特征根（特征值）的模。如果所有特征根的模的倒数都小于1（即所有点都位于单位圆内），则模型是稳定的。

posted @ 2025-09-17 11:06 wangssd 阅读(46) 评论(0) 收藏举报

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保证VAR模型估计结果有效、可靠和无偏的技术性要求。

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