连续随机变量的条件分布

设二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$, 边际密度函数为 $p_X(x), p_Y(y).$ 其条件分布函数为 $P(X\leq x |Y=y)$. 则有

$P(X\leq x|Y=Y)=\lim_{h\rightarrow 0}P(X\leq x|y\leq Y \leq y+h)$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{P(X\leq x, y\leq Y\leq y+h)}{P(y\leq Y\leq y+h)}$

$=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty}^x\int_{y}^{y+h}p(u,v)dvdu}{\int_{y}^{y+h}p_Y(v)dv}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\int_{-\infty}^x\{\frac{1}{h}\int_y^{y+h}p(u,v)dv\}du}{\frac{1}{h}\int_y^{y+h}p_Y(v)dv},$

当 $p_Y(y), p(x,y)$ 在 $y$ 处连续时，由积分中值定理可得

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{y}^{y+h}p_Y(v)dv=p_Y(y),$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_y^{y+h}p(u,v)dv=p(u,y).$

所以

$P(X\leq x|Y=y)=\int_{-\infty}^x\frac{p(u,y)}{p_Y(y)}du.$

$\textbf{Theorem}:$ 对一切使得 $p_Y(y)>0$ 的 $y,$ 给定 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件分布函数和条件密度函数分别为

$F(x|y)=\int_{-\infty}^x\frac{p(u,v)}{p_Y(y)}du,$

$p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p_Y(y)}.$