最优对冲比率（基于最小方差观点）

设 $N_A$ 表示在未来时刻 $t_2$ 卖出 $N_A$ 单位的资产； $N_F$ 表示在当前时刻 $t_1$ 卖空 $N_F$ 单位的相同标的的期货合约。则对冲比率 $h$ 可以表示成

\[h=\frac{N_F}{N_A}\quad (1).\]

它直观含义表示一单位的现货需要 $h$ 单位的期货对冲。

 在未来时刻 $t_2$ 的实现的总收入 $Y$ 可以表示成：

\[Y=S_2N_A-(F_2-F_1)N_F\]

或者

\[Y=S_1N_A+(S_2-S1)N_A-(F_2-F_1)N_F.\quad (2)\]

其中 $S_2, S_1$ 分别表示在时刻 $t_2,t_1$时的现货价格，同理，$F_2,F_1$ 表示期货价格。

结合公式(1)(2), 有

\[Y=S_1N_A+N_A(\Delta S-h \Delta F)\quad (3)\]

其中$\Delta S=S_2-S_1, \Delta F =F_2-F_1$.

基于最小方差的观点，意味着我们优化的目标函数为 $Y$ 的方差最小，即

\[\min var(Y)\]

在公式(3)中可知，在时刻 $t_1$ 便可确定 $S_1, N_A$ 的值，所以有

$var (Y)\propto (\Delta S-h\Delta F)$ 

$\Delta S- h \Delta F$ 的方差可以表示成

$v=\sigma_S^2+h^2\sigma^2_F-2h\rho\sigma_S\sigma_F\quad (4)$

其中 $\sigma_S^2,\sigma_F^2,\rho$ 分别表示 $\Delta S, \Delta F$ 的方差和它们之间的相关系数。

最小化公式(4), 便可获得最有对冲比率 $h$

$\frac{dv}{dh}=2h\sigma^2_F-2\rho\sigma_S\sigma_F \equiv 0$

$h=\rho\frac{\sigma_S}{\sigma_F}$