单循环赛程安排问题

首先，来解释一下，什么是单循环问题，其实，这是一个我们在实现中经常遇到的问题。

问题描述：
赛程问题：有N个运动员进行单循环赛，即两个运动员都要与其他所有运动员比赛一次。要求每个运动员每天只进行一次比赛，且整个赛程在N-1天内结束，运动员编号由1到N
注：N = 2^k

解题思想：

看到这个问题，我们的第一种想法当然就是用穷举法，找出一个可行的方案。其实这题并不适合用穷举法去解决，因为其时间复杂度太大。下面来说说，如何使用分治的思想来解决这个问题。

按分治策略,我们可以将所有的选手分为两半,则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分,直到只剩下两个选手时,就让这两个选手进行比赛就可以了。

日程表可用矩阵来标识，元素值为运动员编号，列坐标表示第几天，下标从0开始，并约定第0天，表示自己跟自己比赛，例如，对于只有两个动员员的情况
1  2
2  1

表示，1的第1天跟2比赛，2的第一天跟1比赛。

下面来看看四个运动员的情况，如下：

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 1 2

4 3 2 1

可把它划分为4个2*2的矩阵，即划分为四组两个动动员时的情况。

据此我们可以看到，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角,又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角,这样我们就分别安排好了。

下面我们来看看如何用代码（C/C++）实现它。

代码实现：

 

#include <iostream>

using namespace std;

void GameSchedule(int *table, int table_rank);
//单循环赛程算法启动函数
void GSchedule(int *table, int table_rank,
               int r1, int c1, int r2, int c2, int n);
//单循环赛程的安排实现
void InitTable(int *table, int table_rank);
//初始化赛程表
void PrintTable(int *table, int table_rank);
//输出赛程表
int main()
{
    int sport_count = 0;//记录运动员的人数
    cout<<"Please enter the count of sporters: ";
    cin>>sport_count;
    //创建一张运动员人数*运动员人数的赛程表
    int *table = new int[sport_count * sport_count];
    //安排赛程
    GameSchedule(table, sport_count);
    //输出安排结果
    PrintTable(table, sport_count);
    delete []table;
    return 0;
}

void GameSchedule(int *table, int table_rank)
{
    //首先对赛程表初始化，然后进行赛程安排
    InitTable(table, table_rank);
    GSchedule(table, table_rank,
              0, 0, table_rank-1, table_rank-1, table_rank);
}

void GSchedule(int *table, int table_rank,
               int r1, int c1, int r2, int c2, int n)
{
   //table_rank为矩阵的阶数，n为运动员的人数
   //(r1,c1)为要处理的子矩阵的第一个元素的坐标
   //(r2,c2)为要处理的子矩阵的最后一个元素的坐标
   if(n >= 2)
   {
       //对以坐标(r1,c1)为始点,(r2,c2)为终点的所有的运动员安排赛程
       for(int i = 0; i < n; ++i)
       {
            //即将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角
            //将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角
            if(*(table + (r2-i)*table_rank+c2) == 0)
                *(table + (r2-i)*table_rank+c2)
                    = *(table+(r1+i)*table_rank+c1);
            else
                *(table+(r1+i)*table_rank+c1)
                    = *(table+(r2-i)*table_rank+c2);
       }
       int mr = (r2-r1)/2;
       int mc = (c2-c1)/2;
       n /= 2;//将运动员的人数减少一半
       //为其左上角的四分之一的矩阵安排赛程
       GSchedule(table, table_rank, r1,c1, r1+mr,c1+mc, n);
       //为其右上角的四分之一的矩阵安排赛程
       GSchedule(table, table_rank, r1, c1+mc+1, r1+mr, c2, n);
       //为其左下角的四分之一的矩阵安排赛程
       GSchedule(table, table_rank, r1+mr+1, c1, r2, c1+mc, n);
       //为其右下角的四分之一的矩阵安排赛程
       GSchedule(table, table_rank, r1+mr+1, c1+mc+1, r2, c2, n);
   }
}

void InitTable(int *table, int table_rank)
{
    //初始化赛程表，首先把所有的数据置0
    for(int i = 0; i < table_rank; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < table_rank; ++j)
            *(table + i * table_rank +j) = 0;
    }
    //设置第0天为与自己比赛
    for(int i = 0; i < table_rank; ++i)
    {
        *(table+i*table_rank+0) = i + 1;
    }
}


void PrintTable(int *table, int table_rank)
{
    //输出赛程表
    for(int i = 0; i < table_rank; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < table_rank; ++j)
            cout << *(table+i*table_rank+j) <<' ';


        cout<<endl;
    }
}

 

算法分析：

我们可以通过使用一个二维数组来记录矩阵，虽然这里你看到的一个一维的数组，这是因为运动员的人数是通过输入来确定的，所以必须使用动态内存分配，也就不能事先确定数组的第二维（即列数）的大小，所以只好使用一个一维数组当二维数组使用。然后使用变量table_rank来确定赛程表的阶数（也可理解为一行有多少列，或运动员的人数）。表达式table+i*table_rank+j用于找出第i行第j列的元素的地址，所以*(table+i*table_rank+j)就相当于平时大家熟悉的table[i][j]。

如果事先已经确定了人数，也可以不使用动态内存分配，而使用全局变量来实现，则函数GSchedule可少用前面的两个参数。