回溯算法总结

1、初步印象

回溯，就是遍历每个状态（或者说树节点），与递归密切相关，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归。

回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。

2、可以解决的问题

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
棋盘问题：N皇后，解数独等等

3、思路模板

 1 void backtracking(参数) {
 2     if (终止条件) {
 3         存放结果;
 4         return;
 5     }
 6 
 7     for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
 8         处理节点;
 9         backtracking(路径，选择列表); // 递归
10         回溯，撤销处理结果
11     }
12 }

4、详细题型

4.1 组合问题

其搜索的过程大致为：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯再视情况的剪枝不断调整结果集。

剪枝精髓是：for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了。

对于无重复下的组合求总和类问题，可能还需要startIndex来控制for循环的起始位置。

对于重复下的组合求总和类问题，即集合元素会有重复，但要求解集不能包含重复的组合。难题在于去掉重复，一般使用used布尔数组或者通过判断 nums[i] == nums[i-1]的方式去重。

还有就是多个集合求组合，像：电话号码的字母组合等等，大致思路一致

（1）77. 组合 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

（2）216. 组合总和 III - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

（3）17. 电话号码的字母组合 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

（4）39. 组合总和 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

（5）40. 组合总和 II - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

组合问题性能分析：

时间复杂度：O(2^n)，每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为O(2^n)
空间复杂度：O(n)，递归深度为n，所以系统栈所用空间为O(n)，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为O(n)

4.2、分割问题

一些难点：

切割问题其实类似组合问题
如何模拟那些切割线
切割问题中递归如何终止
在递归循环中如何截取子串
如何判断回文

如果想到了用求解组合问题的思路来解决切割问题就成功一大半了，接下来就可以对着模板照葫芦画瓢。

131. 分割回文串 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

93. 复原 IP 地址 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

4.3、子集问题

子集问题是要收集所有节点的结果，而组合问题是收集叶子节点的结果。

一般不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了，本来我们就要遍历整颗树。不过，需要注意的是，每次递归的下一层就是从i+1开始的。

对于有重复元素的，依然有去重的需要。

子集一般需要先排序，再进行去重处理，可以采用set的方式去重。

78. 子集 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

90. 子集 II - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

491. 递增子序列 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)

子集问题性能分析：

时间复杂度：O(2^n)，因为每一个元素的状态无外乎取与不取，所以时间复杂度为O(2^n)
空间复杂度：O(n)，递归深度为n，所以系统栈所用空间为O(n)，每一层递归所用的空间都是常数级别，注意代码里的result和path都是全局变量，就算是放在参数里，传的也是引用，并不会新申请内存空间，最终空间复杂度为O(n)

4.4、排列问题

排列是有序的，也就是说[1,2] 和[2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。

可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。