[NJUSC2025] qoj11549 题解

逆元本身的数值没有什么性质，因此应尽量规避对于分母真实数值的考虑，因此先把分母固定掉。考虑找到一组数列 \(\{g_i\}\)，长度为 \(m\)，使得 \(g_i\) 两两互质，令 \(L=\prod g_i\)，要求 \(L\ge p\)。考虑对于 \(g_i\to g_i\times 2^k\)，这样可以将分子为 \(1\) 的限制去除掉。将问题转化为构造数列 \(0\leq a_i<64\) 使得 \(\sum\frac{a_i}{64g_i}\equiv x\) 即 \(\sum \frac{a_i}{g_i}\equiv\frac{L\times 64x}{L}\)。

考虑解决这样的子问题，给定一个 \(k\)，求出数列 \(a\) 使得 \(0\leq a_i<g_i\) 且满足 \(\sum\frac{L}{g_i}a_i\equiv k\pmod L\)。对于所有 \(g_i\)，将每个位置都对 \(g_i\) 取模，此时并非 \(i\) 的位置都是 \(0\)，此时求 \(\frac{L}{g_i}\) 在模 \(g_i\) 意义下的逆元 \(I\)，那么 \(a_i=k\times I\bmod g_i\)。CRT 告诉我们这个是双射，总可以构造出。

此时找到的这组解满足 \(\sum \frac{a_i}{g_i}=c+\frac{b}{L}\)，其中 \(c\in\mathbb Z\cap[0,m)\)，且 \(b\in[0,L)\)。指定 \(b\) 是无法控制 \(c\) 的取值的。令 \(\sum\frac{L}{g_i}a_i\) 的目标值模 \(p\) 为 \(k\)，此时令 \(b=(k-mL)\bmod p\) 即可，后续只有在两边同时加上一个常数。最终构造可以令 \(g=\{3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47\}\)，满足 \(L\ge p\)，此时 \(m=14\)，构造出的 \(|S|\) 上界为 \(\lceil\log_2m\rceil+\sum\lceil\log_2 g_i\rceil\)，远远卡不满 \(\max S=150\) 的限制。