[AHOI2022] 排列

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Statement

对于一个长度为 \(n\) 的排列 \(P = (p_1, p_2, \ldots, p_n)\) 和整数 \(k \ge 0\)，定义 \(P\) 的 \(k\) 次幂

\[P^{(k)} = \left( p^{(k)}_1, p^{(k)}_2, \ldots, p^{(k)}_n \right), \]

该排列的第 \(i\) 项为

\[p^{(k)}_i = \begin{cases} i, & k = 0, \\ p^{(k - 1)}_{p_i}, & k > 0. \end{cases} \]

容易证明任意排列的任意次幂都是一个排列。

定义排列 \(P\) 的循环值 \(v(P)\) 为最小的正整数 \(k\) 使得 \(P^{(k + 1)} = P\)。

给出一个长度为 \(n\) 的排列 \(A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\)，对于整数 \(1 \le i, j \le n\)，定义 \(f(i, j)\)：若存在 \(k \ge 0\) 使得 \(a^{(k)}_i = j\)，则 \(f(i, j) = 0\)，否则设排列 \(A_{i j}\) 为将排列 \(A\) 的第 \(i\) 项 \(a_i\) 和第 \(j\) 项 \(a_j\) 交换后得到的排列，则 \(f(i, j) = v(A_{i j})\)。

求 \(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} f(i, j)\) 的值。答案可能很大，你只需要输出其对 \(({10}^9 + 7)\) 取模的结果。

对于 \(100 \%\) 的测试数据，\(1 \le T \le 5\)，\(1 \le n \le 5 \times {10}^5\)，\(1 \le a_i \le n\)。

Solution

做这种题肯定要考虑简化操作的。

连边 \(i\rightarrow p_i\)，这个就是群论的置换。那么 \(P^k\) 的具体含义就是每个 \(i\) 走 \(k\) 步。这样做之后整个图就是若干不相交的环。显然循环节就是所有置换长度的 \(\mathrm{lcm}\)。

考虑 \(f(i,j)=0\) 的充要条件，显然就是 \(i,j\) 在同一个置换。将 \(p_i,p_j\) 调换后，会影响 \(i,j\) 所在的两个环的连通性。具体地，\(i\rightarrow p_i\) 会变成 \(i\rightarrow p_j\)，\(j\) 类似。再看眼，这不就是把两个环合并吗。因为 \(p_i,p_j\) 后面连的就不一样。再看眼，这仅与两个环原来的大小有关。

设形成了 \(m\) 个置换，第 \(i\) 个置换的大小为 \(s_i\)，那么题目意思就是计算以下柿子的值：

\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=i+1}^m s_i\times s_j\times \mathrm {lcm}(s_i+s_j,s_k),k\in[1,m]\setminus \lbrace i,j \rbrace \]

然而你被骗了。环的长度种类是 \(\sqrt n\) 级别的。对于这个性质，考虑反证，如果是大于 \(\sqrt n\) 级别的，总和会 \(>n\)。

这个玩意，再搞下就是支持删除两个数，插入一个数并查询 \(\mathrm{lcm}\)。只要暴力不写的太难看就行。