LOJ2831

JOISC2018 Construction

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Statement

给定 \(n\) 个点，初始时 \(i\) 号点的权值为 \(c_i\)。

接下来进行 \(n-1\) 次加边操作，每次连接一条边 \((u,v)\)，保证此时 \(u\) 与 \(1\) 号点连通，\(v\) 与 \(1\) 号点不连通。

对于每一次加边，求出 \(1\) 号点到 \(u\) 的简单路径上的逆序对数量，并在操作结束后将 \(1\) 号点到 \(u\) 的简单路径上的所有点的权值改为 \(c_v\)。

\(1 \le n \le 10^5,1 \le c_i \le 10^9,1 \le u,v \le n\)。

Solution

我不会 lct。最后的形态显然是树，可以考虑离线。

进行轻重链剖分后一条到根路径会分成最多 \(\log n\) 条重链。

我们考虑从 \(u\) 往上跳，可以用线段树维护每个节点的颜色，支持高效的查询，对于节点 \(x\) 所在的极长连续段的顶端在哪。

直接暴力跳颜色段，计算该极长段长度，插入值域树状数组并统计答案即可。具体就是对于 \(a_i>a_j,dep_i<dep_j\)，令 \(i\) 在此连续段。

染色和跳链的复杂度都是均摊 \(O(\log n)\) 的，而树状数组也有 \(O(\log n)\) 的复杂度。注意要记录插入了什么以方便高效清空树状数组。

总时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。

核心跳颜色段代码：

ll solve(int u){
	ll rt=0;
	while(u){
		int col=query(1,1,n,dfn[u]),pos=max(dfn[top[u]],query(1,1,n,dfn[u],col)+1);
		int len=dfn[u]-pos+1;
		rt+=1ll*bit::query(col-1)*len;
		bit::add(col,len);
		if(pos==dfn[top[u]]) u=fa[top[u]];
		else u=rev[pos-1];
	}
	bit::clear();
	return rt;
}

AC 提交记录。

另解（我不会）

某大神说：

颜色段在树上可以考虑 LCT。

在本题也很可做。