图论基础

复习用，随缘更

参考资料：GTM244

1.图的基本概念

1.1 定义

图是描述物件之间关系的结构。

一个图由边集\(E\)和点集\(V\)构成，\(E\)的每个元素是二元组（每个元素是点），记作\(G=(V,E)\)。

2.子图

3.树

4.连通性

5.图遍历

6.平面图

6.1 图的嵌入

6.2 平面图的对偶

6.3 平面图的桥

6.4 Kuratowski定理

7.网络流

8.极值图论

9.图的染色

10.匹配

11.哈密顿环

12.图的覆盖/填装

13.电流网络

14.整数流

14.1 环流与染色

14.2 图的流数

14.3 \(8\)与\(6\)流定理

14.4 环双覆盖定理

猜想14.4.1 (Szekeres (1973), Seymour (1979)) 环双覆盖猜想：任一不包含割边的图都能被若干个环覆盖，且每条边都被覆盖两次

该猜想虽然不如单位距离问题知名度那么高，但是应该有不少大佬搞过（比如Thomassen, Postle. Seymour 应该也搞过）。研究方向是图的染色或者整数流的人应该很有可能尝试过这个猜想。

2026年，ChatGPT证明了这个猜想。这里写一下ChatGPT对于这个猜想的证明：

14.5 图的多项式

15.无限图

16.图的子式