集合族与偏序集

瞎写一通，随缘更

1.偏序集的基本概念

1.1 定义

给定一个点集\(S\)，一个在\(S\)上的偏序关系\(\leq _{D}\)满足如下3个条件：

1.\(\forall_{x\in S}，x\leq_D x\)

2.\(\forall_{x,y,z\in S}\), 如果\(x\leq_D y,y\leq_D z\)，那么\(x\leq_D z\)

3.对于所有\(x\neq y\)，\(x\leq_D y\)与\(y\leq_D x\)最多只能有一个成立。

定义Hasse diagram：假如\(x,y\)之间满足\(x\leq_D y\)并且不存在\(z\neq x,y\)使得\(x\leq_D z\leq_D y\)，我们就在图中加入\(y\)到\(x\)的有向边。

最后生成的图是一张DAG。

同理，对于一张DAG，假如存在\(y\)到\(x\)的路径，那么我们定义\(x\leq_D y\)。

所以偏序集和其Hasse diagram是一一对应的。

对于两个偏序集\((X,\leq_X),(Y,\leq Y)\)，如果存在双射\(f\)使得\(a\leq_X b\)当且仅当\(f(a)\leq_Y f(b)\)，那么我们称这两个偏序集同构。