组合数学中的线性代数方法

瞎写一通

1.矩阵乘法

问题1.1:判断一个图中是否有三角形

暴力做是\(O(n^3)\)的

考虑该图的邻接矩阵\(A\)，枚举图的每条边\((a,b)\)，我们想要判断是否存在\(c\)使得存在边\((a,c),(c,b)\)，也就是\(A_{a,c}=A_{c,b}=1\)

\(A^2_{a,b}=\sum_{c=1}^nA_{a,c}A_{c,b}\)，所以当\(A^2_{a,b}>0\)，存在\(c\)使得\(A_{a,c}=A_{c,b}=1\)。所以我们可以使用\(O(n^{2.373})\)的矩阵乘法求解\(A^2\)后判断。

问题1.2:判断\(01\)矩阵\(A,B\)的乘积是否等于\(C\)