线性代数 3B1B 笔记

https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E

概念

秩Rank

基础变换后的空间维数

线性相关

一组向量至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献
At least one of these vectors is redundant, not adding anything to our span.

解释

你有多个向量，并且可以移除其中一个，而不减小张成空间。
Whenever this happens, where you have multiple vectors, and you could remove one without reducing the span

因为多余的向量已经落在其他向量的张成空间中，多余的向量可以表示为其他向量的线性组合
can be expressed as a linear combination of the others, since it's already in the span of the others.

线性无关

反之，所有的向量都给张成空间添加了新的维度。
if each vector really does add another dimension to the span

线性表出

表示出来：将向量表示为一组基向量的线性组合的过程

设两个 n 维向量组 α1,α2,··,αs(I）和 β1,β2,·.·,βt(II)
若 I 中的每一个向量都可以由 II 表出，则称 I 可由 II 线性表出。并且有 r(α1, q2, .., αs) ≤ r(β1, β2, ... , βt)
这很容易理解：秩代表向量组所处空间的最低维度，位于低维空间的向量组没法表示位于高维空间中的向量组。

如果可以相互线性表出，则称两个向量组等价。
两个等价的向量组必同维且等秩。
https://www.cnblogs.com/yanghh/p/13424792.html

零向量可以被任何向量线性表出。

极大线性无关组

线性相关可以理解为「多余」，说明向量组内部有的向量可以被其他向量表出，可以删去。删完了之后，将剩下极大线性无关组。
来源 OI wiki

一个向量空间的“基”是张成该空间的线性无关向量的集合。

高斯消元

https://oi-wiki.org/math/numerical/gauss/