欧拉函数和欧拉定理

欧拉函数和欧拉定理：

欧拉函数：定义 \(\varphi (n)\) 表示不超过 \(n\) 的与 \(n\) 互质的正整数个数。
\(\varphi (1)=1\ \varphi (2)=1 \ \varphi (3)=2\)

欧拉函数的常用性质：

1. 若 \(p\) 是质数，则 \(\varphi (p^n)=p^{n-1}(p-1)\)
2. 若 \(a|x\)，则 \(phi[ax]=a\times phi[x]\)
3. 若 \(a,b\) 互质，则 \(\varphi (a)\times \varphi (b)=\varphi (ab)\)

欧拉函数的求法：

1. 方法一，用定义法求单个 \(x\) 的欧拉函数 \(\varphi (x)\)。其中 \(\varphi (x)=x\times \frac{p_1-1}{p1}\times \frac{p_2-1}{p_2}...\frac{p_k-1}{p_k}\)

2. 方法二，用线性筛求 \(1\) 到 \(n\) 以内所有

求单个板子：

int get_phi(int n)
{
	int add=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(n%i==0) add=add/i*(i-1);
		while(n%i==0) n/=i;
	}
	if(n!=1) add=add/n*(n-1);
	return add;
}

线性筛板子：

#include<bits/stdc++.h>
#define mm 100
using namespace std;
bool vis[mm];
vector<int> prime;
int n;
int phi[mm];
void work()
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) prime.push_back(i),phi[i]=i-1;
		for(auto x:prime)
		{
			if(x*i>n) break;
			vis[x*i]=true;
			if(i%x==0)
			{
				phi[x*i]=phi[i]*x;
				break;
			}
			else phi[x*i]=phi[i]*phi[x];
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	work();
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<phi[i]<<'\n';
}