数位DP

数位DP

概念

数位DP是用来处理与数位有关的区间统计问题的，其基本思路是将数位作为一个个阶段进行处理

算法实现

我们先来看看一道例题：

给定两个正整数 \(a\) 和 \(b\)，求在 \([a,b]\) 中的所有整数中，每个数码各出现了多少次（\(1 \le a \le b \le 10^{12}\)）

例：\([1,14]\) 中，有数字 \(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14\)，其中数码 \(0\) 到 \(9\) 各出现 \(1,6,2,2,2,1,1,1,1,1\) 次

显然，我们无法通过枚举 \([a,b]\) 中的每一个数字解决问题。我们考虑枚举数位并加以记忆化搜索解决。

这时，我们需要维护什么：

• 枚举到了第几个数位 \(pos\) ，如本道题共有 \(12\) 个数位

• 是否到达极限 \(limit\) ：

  假设 \(b=147\) ，那么我们只能最高位只能枚举到 \(1\)。这时，我们记录一下之前是否到达极限（从左向右枚举，即最高位是否超出极限），如果上几位超出极限且这一位也超出极限，那么记录超出极限

• 是否有前导\(0\) \(is0\)（前面的位全为 \(0\)）：

  如果前面所有位都是前导\(0\) 且这一位也是 \(0\)，那么标记前导\(0\)

  统计答案时应跳过前导\(0\)

• 以上是数位DP模板需要，下面是本题统计的基本数据：

  • 当前统计的数位 \(x\in [0,9]\)
  • 当前路径上该数位 \(x\) 的答案 \(k\)（\(x\) 的个数）

ll dfs(bool limit,bool is0,int pos,int x,int k) { // 统计数字x出现次数
  //   是否到达极限 是否为前导0 当前数位 统计数字 当前路径答案
	if (pos == 0) return k; // 到达边界
	if (!limit && !is0 && dp[pos][k] != -1) return dp[pos][k]; // 记忆化搜索
	int t = (limit ? num[pos] : 9); // 该位枚举上限
  ll ans = 0; // 答案
	for (int i = 0;i <= t;i ++) { // 枚举可能数字
		if (is0) ans += dfs( // 前导零
      limit && i == t, // 高位为极限且这一位到达极限
      is0 && i == 0, // 高位为前导0且这一位为0
      pos - 1, // 下一数位
      x,
      k + (i == x && i != 0) // 如果该位不为0，统计。反之不统计
    );
		else ans += dfs(limit && i == t,is0,pos - 1,x,k + (i == x)); // 同上
	}
	if (!limit && !is0) dp[pos][k] = ans; // 记录答案
	return ans;
}

dp[pos][k] : pos位置答案为k
num[pos] : 被分解数位的上限