组合数学浅析

前言

本文是根据自己笔记 + 网上资料 + AI完成，纯猎奇，易懂，证明基本是组合意义（我讨厌推柿子），\(Orz\)所有推式子的大佬

推广

\(Ⅰ.\) 广义组合数
定义下降幂\(n^{\underline{m}} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-m+1)\).
则组合数表示如下：\(\binom{r}{k} = \frac{r^\underline{k}}{k!}\)，注意\(k \in \mathbb{N}\).
性质：注意到\(n^{\underline{m}} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-m+1) = (-1)^n * (0-n) * (1-n) * (m - 1 -n) = (-1)^m * (m-1-n)^{\underline{m}}\)，这被称作上指标翻转。
\(Ⅱ.\)广义二项式定理 & 范德蒙卷积
对于\(\alpha \in \mathbb{R},(x+y)^{\alpha} = \sum \limits_{k} \binom {\alpha}{k} x^k y^{\alpha-k}\)，\(|\frac{y}{x}| < 1\)。
我们对于阶乘下降幂实际上有一个很类似的结果：\((x+y)^{\underline{n}}=\sum\limits_{k}\binom{n}{k}x^{\underline{k}}y^{\underline{n-k}}\)，两侧约掉\(n!\)得\(\sum\limits_{k}\binom{x}{k}\binom{y}{n-k} = \binom{x+y}{n}\)。
这就是范德蒙卷积。

部分公式

\(Ⅰ.\binom{n}{k}\binom{k}{r}=\binom{n}{r}\binom{n-r}{k-r}\)
证明：显然 \(n\) 个中选 \(k\) 个，\(k\) 个中选 \(r\) 个等价于 \(n\) 个中选 \(r\) 个，剩下 \(n-r\) 个中选 \(k-r\) 个。
\(Ⅱ.\sum\limits_{i=0}^{n-m} \binom{m}{m+i} = \binom{m+1}{n+1}\)
证明：显然可以以选不选\(a_1 \to a_i\)分类，最后注意到\(\binom{m+1}{n+1}=\binom{m}{n}\)即可。
\(Ⅲ.\sum\limits_{i=0}^{n} i*\binom{n}{i} = n * 2^{n - 1}\)
证明：原式即为求解一个集合\(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)的所有子集元素个数。
前置芝士：\(\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = 2^n\)
左侧我们可以这样看：
包含1个元素的子集有\(\binom{n}{1}\)个，元素有\(\binom{n}{1}\)个
包含2个元素的子集有\(\binom{n}{2}\)个，元素有\(2*\binom{n}{2}\)个
\(\cdots\)
包含n个元素的子集有\(\binom{n}{n}\)个，元素有\(n*\binom{n}{n}\)个
所以包含\(i\)个元素的子集有\(\binom{n}{i}\)个，元素有\(i*\binom{n}{i}\)个
总个数就是\(\sum\limits_{i=0}^{n} i*\binom{n}{i}\)个
右侧我们可以这样看：
包含\(a_1\)的子集：剩下的\(n - 1\)个元素可以选择选/不选，由前置芝士，方案数为\(2^{n-1}\)。
同理，包含\(a_2\)的子集，包含\(a_3\)的子集，\(\cdots\)，包含\(a_n\)的子集方案数都为\(2^{n-1}\)。
所以总数为\(n * 2 ^ {n - 1}\)种
由此我们证明了式\(Ⅲ\)的正确性。
\(Ⅳ.\sum\limits_{i=0}^{n} i^2*\binom{n}{i} = n * 2^{n - 1} + (n-1) * n * 2^{n-2}\)
证明：原式即为从 \(n\) 个人中选出一个任意大小的小组（可以是空组），并在小组内选出1名组长和1名副组长（允许组长与副组长是同一个人）的总方案数。
左侧：
从\(n\)个人选\(i\)个人：\(\binom{n}{i}\)
选组长和副组长：\(i^2\)
所有方案数量：\(\sum\limits_{i=0}^{n} i^2*\binom{n}{i}\)
右侧：
若组长与副组长是同一个人：\(n * 2^{n-1}\)
若组长与副组长不是同一个人：\(n * (n-1) * 2^{n-2}\)
所有方案数量:\(n * 2^{n - 1} + (n-1) * n * 2^{n-2}\)
由此我们证明了式\(Ⅳ\)的正确性。