e的定义

不妨设数列 \({x}_n=(1+\frac{1}{n})^n ， {y}_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)，明显 \({x_n},{y_n}\) 均为正数。

下面先证 \({x}_n\) 单调：

\({x}_{n}=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})……(1+\frac{1}{n})\times1\) 其中有 \(n\) 个 \((1+\frac{1}{n})\)

由均值不等式

\({x}_{n}\leq(\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1})^{n+1}=(\frac{(n+1)+1}{n+1})^{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}={x}_{n+1}\)

可得数列 \({{x}_{n}}\) 单调递增

\(\frac{1}{{y}_{n}}=(\frac{n}{n+1})^{n+1}\times1\)

同理可得 \(\frac{1}{{y}_n}\leq(\frac{(n+1)(\frac{n}{n+1})+1}{n+2})^{n+2}=(\frac{n+1}{n+2})^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}}\)

所以数列 \({y_n}\) 单调递减

对此我们有 \(2={x_1}\leq{x_n}<{y_n}\leq{y_1}=4\)

所以数列 \({x_n},{y_n}\) 均为单调有界数列，由定理，得单调有界数列必定收敛

所以数列 \({x_n},{y_n}\) 极限存在，且\({x_n},{y_n}\) 极限为同一个数，即\(\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=\lim\limits_{n\to \infty}{y_n}=e\)。