距离

以下令\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\).

欧几里得距离

最直观，连接\(AB\)，由勾股定理可知\(dist(A,B)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.\)

曼哈顿距离

只能走平行于坐标轴的线，易知\(dist(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.\)

切比雪夫距离

最抽象，定义\(dist(A,B)=\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|).\)

转化

碰到求切比雪夫距离或曼哈顿距离的题目时，我们往往可以相互转化来求解。两种距离在不同的题目中有不同的优缺点，应该灵活运用。

1. 曼哈顿坐标系是通过切比雪夫坐标系旋转 \(45^\circ\) 后，再缩小到原来的一半得到的。
2. 将一个点\((x,y)\) 的坐标变为 \((x + y, x - y)\) 后，原坐标系中的曼哈顿距离等于新坐标系中的切比雪夫距离。
3. 将一个点\((x,y)\) 的坐标变为 \((\dfrac{x + y}{2},\dfrac{x - y}{2})\) 后，原坐标系中的切比雪夫距离等于新坐标系中的曼哈顿距离。

简单证明