时间复杂度

I.适用范围：

\(T(1)=\mathcal{O}(1)\) \(\space \space \space \space \space n=1\)

\(T(n)=a*T(\frac{n}{b})+\mathcal{O}(n^d)\) \(\space \space \space \space \space \space n\geq1\)

II.内容：

当 \(d<\log_b a\) 时，递归时间复杂度为：\(\mathcal{O}(n^{\log_b a})\)

当 \(d=\log_ba\) 时，递归时间复杂度为：\(\mathcal{O}(n^d * \log n)\)

当 \(d>\log_b a\) 时，递归时间复杂度为：\(\mathcal{O}(n^d)\)

III.Akra-Bazzi

Akra–Bazzi 定理适用于递归公式

\[T(x)=\left\{\begin{matrix} \Theta(1) & x<x_0\\ g(x)+\sum_{i=1}^{k}a_iT(b_ix+h_i(x)) & x\geq x_0 \end{matrix}\right.\]

其中：

• \(a_i>0,0<b_i<1\) 且它们是常数。
• \(|g'(x)|\in\mathcal{O}(x^c)\)，其中 \(c\) 是常数，这里是大 O 记号，意思是 \(x^c\) 是 \(g(x)\) 的导数的绝对值的渐进上界，下同。
• \(|h_i(x)|\in\mathcal{O}\left(\frac{x}{\log^2x}\right)\)，\(h_i\) 表示的是一个小扰动，举个用例，它可以用来处理取整的情况：\(\lfloor b_ix\rfloor=b_ix+(\lfloor b_ix\rfloor-b_ix)\)，其中 \(\lfloor b_ix\rfloor-b_ix\) 很小，在 \(0\) 和 \(1\) 之间，\(h_i\) 就可以用来忽略取整函数，就是说，\(T(n)=n+T\left(\frac{1}{2}n\right)\) 和 \(T(n)=n+T\left(\lfloor\frac{1}{2}n\rfloor\right)\) 有相同的渐进表现。
• \(x_0\) 是常数。

求出 \(p\) 使得 \(\sum_{i=1}^{k}a_ib_i^p=1\)，那么就有：

\[T(x)\in\Theta\left(x^p\left(1+\int_{1}^x\frac{g(u)}{u^{p+1}}du\right)\right) \]