组合部分总结

知识部分

-1.求和换号

　　入内求交，出外求并。内层变量移动到外层时，将内层限制条件（它包含内外两层的两个变量！）对外层变量求并；外层变量移动到内层，则将外层变量与内层变量形式地并列，适当地等价变形以适合求和需求。
\(\sum _{i\in A} \sum_{j \in B(i)}a_{i,j}=\sum_{j \in \cup_{i \in A}B_i}\sum _{i \in [i \in A|j\in B(i)]}a_{i,j}\)

1.范德蒙卷积：

\(\sum _{i=0}^m\binom{n}{i}\binom{m}{m-i}=\binom{n+m}{m}\)

2.二项式定理

I.\(\sum_{k=0}^{m+n}\binom{m+n}{k}x^k=(x+1)^{m+n}\)

II.\((x+y)^n=\sum_{i=0}^n C_n^ix^iy^{n-i}\)

3.导数

I.基本

\(f(x)=x^n,f^{'}(x)=nx^{n-1}\)

II.加减

令\(f(x)=g(x)+r(x)\)则\(f^{'}(x)=g^{'}(x)+r^{'}(x)\)

III.乘法

令\(f(x)=g(x)r(x)\)则\(f^{'}(x)=g^{'}(x)r(x)+g(x)r^{'}(x)\)

4.Lucas定理

\(\binom nm\bmod p=n!*inv(m!)*inv(n-m)! =\binom{\lfloor \frac n p \rfloor}{\lfloor \frac m p \rfloor}*\binom{n\bmod p}{m \bmod p} \mod p.\)

5.欧拉函数

若\(p\)为质数

I.\(\varphi(p)=p-1\)

II.令\(i \bmod p=0\)，则\(\varphi(i*p)=p*\varphi(i)\)

III.令\(i \bmod p\neq0\)，则\(\varphi(i*p)=(p-1)*\varphi(i)\)

6.Sample

I.求：\(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2\)

\(Ans= \sum \limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{n-i}=\binom{n+n}{n}=\binom{2n}{n}\)

II.求证：若\(p\)为素数，则\(x^p+y^p \equiv (x+y)^p \bmod p\)

证明略. 结论显然.

球盒模型

I.球盒均不同

1. 无其他限制：\(m^n\)
2. 盒中至多一个：\(C_{m}^{n}*n!=A_{m}^{n}\)
3. 盒中至少一个：\(\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^iC_{m}^{i}(m-i)^n\)

II.球不同，盒同

1. 无其他限制：\(\sum \limits_{i=0}^{m}\)\(n \brace m*i\)
2. 盒中至多一个：\([n \le m]\)
3. 盒中至少一个：\(n \brace m\)

III.球同，盒不同

1. 无其他限制：\(\binom {n+m-1}{n}\)
2. 盒中至多一个：容斥原理，转为\(x_1\gt a\)和\(x_2 \gt a\)不满足，减去上述两项，加上\(x_1\gt a\)且\(x_2\gt a\)的值。
3. 盒中至少一个：转为\(x_1\ge a\)和\(x_2 \ge a\)满足，再化为\(\sum \limits_{i=1}^{m}x_i-A_i\ge n-\sum \limits_{i=1}^{m}A_i\)，转为第一种计算即可。

IV.球盒均同

根据 \(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j}\) 递推即可。

一些公式

1. \((x+y)^n=\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^ix^iy^{n-i}.\)
2. \(\binom{n}{r}\binom{r}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k}.\)
3. \(\sum \limits_{i=0}^{n}C_n^i\sum \limits_{j=0}^{i}C_i^j\sum \limits_{k=0}^{j}C_j^k=\sum \limits_{j=0}^{n}C_n^j\sum \limits_{k=0}^{j}C_j^k\sum \limits_{i=0}^{n-j}C_{n-j}^i.\)