一种贪心问题的构造方案及证明技巧
反证法证明贪心策略的可行性
当我们考虑证明某个贪心策略最优时，往往采用反证法：假设另一个与贪心算法不同的算法，我们考虑将其中不同的某一部分转化成贪心算法的部分，然后尝试证明这个新方法一定不劣.
比如证明以下问题的贪心策略：
现有 \(n\) 个宝物，其重量分别为 \(a_i\)，宝物可以随意分割，每种宝物每一单位的价值为 \(v_i\)，给定最多拿取重量 \(M\)，问能取得的最大价值是多少？
这个问题的贪心策略是：优先拿价值最高的物品.
考虑证明这个贪心策略：
假设存在另一方案，它没有优先拿价值最高的物品，具体的说，即其拿取了第 \(j\) 个物品，而未拿取第 \(i\) 个物品，且 \(v_{i}>v_{j}\)
则显然，我们把第 \(j\) 个物品拿出来，换成贪心策略，拿取第 \(i\) 个物品，则拿取价值一定不会更低（事实上，这里必然会更高）
这个也可以很直观地得出证明.
通过更优性比较得到贪心策略
但是有时我们并不能知道贪心策略后再证明，很多时候我们需要构造贪心策略，于是我们可以借助不等式来得到何种策略最优.
考虑以下问题的贪心策略：
需要完成 \(n\) 个魔法任务。假设你当前的时间为 \(T\)，每个任务需要有一定的限制 \(t_i\) 表示只有当你的 \(T\) 严格大于 \(t_i\) 时你才能完成这个任务，完成任务并不需要消耗时间。当你完成第 \(i\) 个任务时，你的时间 \(T\) 会加上 \(b_i\)，此时要保证 \(T\) 在任何时刻都大于 \(0\)，那么请问你是否能完成这 \(n\) 个魔法任务？
注意：\(b_i\) 有可能为负.
我们首先可以直观地了解到一个简单的结论：先处理 \(b_{i}> 0\) 的任务一定是不劣的，因为这样子 \(T\) 会递增而非递减.
因此我们分两部分考虑：
先考虑 \(b_{i}\geq 0\) 的部分，这部分结论很显然：按时间限制 \(t_{i}\) 从小到大排序，依次完成任务即可.
然后考虑 \(b_{i}<0\) 的部分：这部分贪心策略不太显然，我们需要利用贪心性质的 不劣性 来构造不等式：
考虑两个任务 \(i,j\)，他们满足 \(b_{i},b_{j}<0,~i<j\)，我们假设先处理 \(i\) 是 不劣的（因为这里假设了 \(i<j\)，所以是先处理 \(i\) 不劣），那么根据这个 不劣 的条件，我们可以得到下面的不等式：
即：先完成 \(i\)，应该能有机会完成 \(j\)，但是先完成 \(j\)，一定无机会完成 \(i\).
从而可以得到：\(t_{j}-b_{i}\leq T\leq t_{i}-b_{j}\)
移项得到：\(t_{i}+b_{i}\geq t_{j}+b_{j}\)
所以我们得到了先处理 \(i\) 更优的条件：满足 \(t_{i}+b_{i}\geq t_{j}+b_{j}\)，这也就是贪心的策略：按 \(t+b\) 从大到小排序.
再来看下面这个问题：
给定 \(n\) 棵摇钱树，每一棵树起初分别有 \(m_1,m_2,\dots,m_n\) 个金币，每天每棵树会分别减少 \(b_1,b_2,\dots,b_n\) 个金币，现在有 \(k\) 天时间，每天只能砍掉一棵树并获得其树上的所有金币，问最多获得的金币数是多少？
注意：金币数不会减为负数，减为 \(0\) 后便不会再减少.
首先我们能知道这个显然不是简单的贪心，观察一下像是 dp 的形式，但是我们又没有确定好 dp 的顺序（一般我们钦定 dp 是顺序处理的），所以我们可以考虑用贪心的思想来大概确定 dp 的顺序.
又是如上的技巧：我们不妨假设 \(i<j\) 且只考虑这两个，则：
（1）先处理 \(i\)，后处理 \(j\) 的贡献是：\(m_{i}+m_{j}-b_{j}\)
（2）先处理 \(j\)，后处理 \(i\) 的贡献是：\(m_{j}+m_{i}-b_{i}\)
因为钦定了 \(i<j\)，所以（1）的贡献应该 \(\geq\) （2）的贡献，即：\(b_{i}\geq b_{j}\)
从而我们得到了贪心顺序：按 \(b_{i}\) 从大到小排序.
另外再给出 \(dp\) 方程：\(dp[i][j]=\max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+m[i]-b[i]*(j-1))\}\)
其中，\(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 棵树，选择其中的 \(j\) 棵能获得的最多金币数.
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