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(1) \[ \lim_{x \to 0}(1-2f(x))^{\frac{1}{\sin x}}=e^{-2\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{\sin x}}=e^{-2\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \cdot \frac{x}{\si 阅读全文
posted @ 2021-10-25 21:35
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不能能洛必达，邻域不可导 (1) \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x-f(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-f(0)}{x}-\frac{f(x)-f(0)}{x-0}==\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{ 阅读全文
posted @ 2021-10-25 21:30
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\[ \begin{aligned} &\begin{cases} f(y_n)-f(x_0)=f'(x_0)(y_n-x_0)+\alpha_n(y_n-x_0) \\ f(x_n)-f(x_0)=f'(x_0)(x_n-x_0)+\beta_n(x_n-x_0) \\ \end{cases} \ 阅读全文
posted @ 2021-10-25 21:25
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充分性 若 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续 所以 \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\) 在 \(x=0\) 处连续 必要性 若 \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\) 在 \(x=0\) 处连续，则 \(\lim_{x 阅读全文
posted @ 2021-10-25 21:24
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不妨设 \(f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=A\)，即 \(\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,s.t.\forall x \in U^\circ(0,\delta),|\frac{f(x)}{x}-A|<\epsilon\) 阅读全文
posted @ 2021-10-25 21:23
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\(\lim_{x \to 0^+}\cos \frac{1}{x}\) 不存在，同时 \(-1 \le \cos \frac{1}{x} \le 1\) 右连续：\(\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)=0\)，所以 \(\lim_{x \to 0^+}x^a\cos \frac{1 阅读全文
posted @ 2021-10-25 19:22
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\[ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)} \] \[ \frac{d\frac{dx}{dy}}{dy}=\frac{d \frac{1}{f'(x)}}{dx} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{f''(x)\frac{-1}{[f'( 阅读全文
posted @ 2021-10-25 17:24
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(1) 设 \(f(x)=|x|\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 点连续 且 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{|x|-|-x|}{x}=0\) 存在 因为 \(f_+'(x)=1,f'_-(x)=-1\ 阅读全文
posted @ 2021-10-25 17:21
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