P14380 【MX-S9-T3】「LAOI-16」天外来物

题意

给一棵树，每个点有编号，现在有一种树 \(f(l,r)\)，形如把编号在 \([l,r]\) 之间的点连成最小生成树。

然后给一些询问，形如 \(q(L_i,R_i)\)。他想知道有多少种不同的 \(f(l,r)\)，其中 \(L_i\le l\le r\le R_i\)。

称 \(f\) 相同，当且仅当其包含的点集相同。

对于所有测试数据，保证：

• \(1\le n,q\le 5\times 10^5\)；
• \(1\le L_i\le R_i\le n\)；
• \(1\le x,y\le n\)，保证输入的边构成树。

题解

考虑每种 \(f(l,r)\) 的性质，必然 \(l\) 不变的情况下 \(r\) 递增，则 \(f(l,r)\) 的树是不变小的。有点单调的感觉，所以考虑找到每种树的分界点 \((l,r)\)。这里有个结论，就是这个 \(l,r\) 一定都是最小生成树的叶子，证明显然。

然后考虑每个点作为这种 \(l\) 或者 \(r\) 的最远扩展距离。这里我们可以这么想：对于 \(l\) 来说，如果把 \(l\) 当成根，那么必须经过 \(l\) 当且仅当 \(l\) 有至少 \(2\) 个子树有点，所以我们把这个东西放到 \(dfs\) 序上就是区间最大值了，枚举子树找到第二大就是答案。从小到大扫描每个点即可，\(r\) 的做法类似。

接下来考虑计算答案，我们设每个点能拓展的左右端点为 \(L_i,R_i\)，询问区间为 \(l,r\)，我们要找的两个叶子从小到大为为 \(x,y\)。那么我们要求的点对满足如下限制：

\[l\le x\le y\le r\\ L_y\le x\le y\le R_x \]

考虑扫描 \(y\)，用线段树维护。具体来说线段树每个节点维护一个值 \(w_i\) 表示以 \(i\) 为左端点，右端点不超过 \(y\) 的树种类。我们维护一个 \(tag_i=[R_i\ge y]\) 那么一次扫描的增加会使得 \([l_y,y]\) 中的点变为 \(w_i+tag_i\)。发现 \(tag_i\) 只会改变一次，所以可以暴力修改 \(tag_i\)，询问就是求区间和，线段树上每个节点维护 \(sumw,sumtag\) 就可以了。