我们如何解决求子集团个数

题面

方法一

首先预处理每个子集是否成团，然后枚举子集即可 \(O(3^n+n2^n)\)。

方法二

考虑 meet in the middle，左侧处理处每个子集是否成团，右侧处理每个子集是否成团，然后枚举其子集成团数量，最后在枚举左侧合法子集，贡献是这个子集关于右侧集合的合法集合的子集成团数量，你可以左侧开大一点，右侧开小一点 \(O(x2^x+3^{n-x}+(n-x)2^{n-x})\)，其中 \(x\) 自选。

方法三

考虑优化右侧枚举子集。如果设计 \(f_i\) 表示集合 \(i\) 的合法子集数量, \(to_i\) 表示 \(i\) 的连通集，那么我们发现如下方程：

\[f_i = f_{i\nmid j}+f_{(i\nmid j)\&~to_j} \]

所以就可以 \(O(\frac{n}{2}2^{\frac{n}{2}})\) 做了。