这几天题目总结

P5339 [TJOI2019] 唱、跳、rap和篮球

很好的一道题，先考虑容斥至少有 i 个讨论cxk的组，然后你发现你缺了一个剩下人的组合数

现有一个朴素的方法，就是分别枚举有 i 个人在做第一个运动，j个在做第二个运动……

这是一个n^4方的，可以用前缀和优化到 n^3

现在有一种用meet-in-middle的方法优化这个复杂度，我们考虑怎么做

我们枚举有 i个人在做 1或者 2 运动,有 j 个人在做 3或者 4 运动

分开求都是 n^2的 前缀和做到 O(n)，乘上容斥的复杂度， O(Tn^2)

P5384 [Cnoi2019] 雪松果树

这个题很简洁，那么做法接不长，我们考虑一步一步想，肯定要把询问挂到 k-father上

因为我们有dfs序来维护子树，而 k-cousin 肯定在这个子树里面

接下来想到成为一个 k-cousin 的充要条件：

• 1 在子树里面

• 2 dep和 u 一样

• 3 不是 u本身

考虑一个一个处理，我们考虑离线，这样我们可以作差，答案就是 ans(dfn[fa]+siz[fa])-ans(dfn[fa])

其中ans是满足2的答案数目，第二个东西很好处理，我们直接开个桶就可以了

最后答案-1就处理好3了

接下来讲一下怎么处理挂载询问到k-father 那我们就需要在 u 找到 k-father，用一个栈来维护到1号节点的链

然后就做完了

P6902 [ICPC 2014 WF] Surveillan

这个题有个显然的贪心，我们每次一定选择从自己可以到达的最右侧，这样显然不劣

原因是我们可以到的最右侧是单调的，考虑枚举左侧起始点，断环成链，先思考链上怎么做

我们可以直接指针跑出来这个最大值直接跳，o(n)

但是我们在环上肯定不能这么做，因为可能有 n 个不同的环，思考怎么处理这种情况

先发现为什么不能直接转移，原因就是左端点不同，考虑最终可以成为答案，就是要跳的总长>n

和起始点没有任何关系，所以直接拆两倍环，这样左端点就固定了。

还有一种理解，就是因为你本来就要覆盖全部，所以你可以假设之前已经覆盖了，直接做

接下来考虑怎么枚举，这个最大值是可以合并，所以直接倍增就解决了。

P10780 BZOJ3028 食物

虽然这道题是生成函数班子，但是我们也可以直接考虑组合

虽然很难直接想到：发现可以单出来一个蜜桃多的情况下随意分割成4段

然后就可以做了，上面的组合中可以每段为0所以考虑加上段数组合C(3,N-1+3);

P1758 [NOI2009] 管道取珠

对于n很小的dp我们先考虑时间复杂度 n<500 那么应该是 n^3 的，考虑怎么传递答案

他说了\sum a_i 是一个组合数，考虑我们答案的组合意义，很巧妙。

就是两个人，同时做到相同方案的方案数字之和，每推进一步就考虑是不是现在就能做了

我们看到设计 在相同的情况下，两人选的长度为 i，第一人选了 j 个 上侧，第二个人选了 k 个上侧

发现可以直接转移 复杂度也没问题

计算复杂度的方法：状态数*转移时间，可以帮助你思考怎么优化dp

P3874 [TJOI2010] 砍树

先考到求的是最大比值，那么我们考虑分数规划，之后发现就是一个背包问题，考虑怎么处理

设在节点i的子树选了j个果子，从siz_i枚举就会少一个 n 的复杂度，树上背包都是这样，记住

因为一定连续所以必选，之后直接枚举答案就可以了（dp内部）

P8089 『JROI-5』Color

首先看数据范围，一定是 o(dep) 的，先考虑特殊部分：完美二叉树

那么但是可以递推的， \(f_i=(f_{i-1}+1)^2\)

接下啦发现其实普通情况和完全二叉树差不了多少

你发现可以找到左右两颗二叉树，其 dep 一样

在这个地方，我们发现这是一条链分割的这个东西

考虑链左右侧是什么，发现都是完美二叉树，那么边递归边计算答案就可以了！

当然也可以不递归，因为二叉树这条链恰好对应了输入的二进制位，很巧妙

P6655 [YsOI2020] 制高

发现自己的数学能力极差，首先看出来这是一道数学题 ，然后我们考虑怎么计算答案

考虑把 期望 拆成 概率*方案数 我们计算每一个点的成为有贡献的点的概率，考虑转移答案

发现 h 是一个偏序关系 那么我们就先排序，完了第一维度自动满足

推式子发现自己的概率 \(g_i=\sum{r_i}_{j=l_i} g_j \cdot [h_i>h_j]\)

这下我们就没有条件了，发现答案就是区间和，用数据结构维护就可以了，我用的是树状数组

P3129 [USACO15DEC] High Card Low Card P

这个做法比较有启发意义：

考虑一下我们肯定要像田忌赛马一样选择较为接近的

这个东西实际上是能用括号序列的最大匹配数维护的

就是先排序，然后把需要大于的那一侧作为右括号

而不是普通的用set来维护这个东西

然后还有一个性质，就是这两侧的操作是完全对成的

具体来说就是你最开始一定选前 k 个自己最大的牌一定不劣

反之也是的，所以我们就可以直接合并左右两侧的答案了

P2542 [AHOI2005] 航线规划

遇到删边就考虑反向操作，先想到缩点。答案就是长度。

然后考虑加边的贡献，那么就是把路径上点权赋值为0

考虑怎么把边权->点权

首先少了根节点，然后两点的路径你要记录边的上方和下方

路径上的边权给儿子那么lca的就不能修改了（**）

P8632 [蓝桥杯 2015 国 B] 居民集会

同样是序列上的dp问题，dp方程很好想

关键在于减少min()中的不变量

有两点：

• 1.提取方程中的只和当前枚举量有关系的量

• 2.对于求和若为 i~>j ，我们考虑用前缀和优化成sumi-sumj 这样再把乘法式子拆开那么就分离了

斜率优化常见形式：\(f_i=min{f_j+i\cdot t_j+w_j}+w_j\)

P8726 [蓝桥杯 2020 省 AB3] 旅行家

在遇到每次只能前往比自己节点大的节点，所以可以考虑用线性数据结构/dp维护。

因为在答案 i 被处理时 其所有前置节点的答案都被预处理出来了。

所以把前置节点当成常量，考虑dp，发现是典型的一次函数形式，考虑李超线段树。

这样就做完了。

P6594 [YsOI2020] 换寝室

树上差分那道题解，具体巧妙做法在于

1.用差分计边权

2.用了极差的性质，枚举时点的权在一个范围内，枚举这个范围

3.合并时用dp+分类讨论合并子树最小代价+套了一个二分