8.20模拟赛

\[\text{给定一个长为 } n \text{ 的正整数序列 } a \text{，和一个正整数 } k \text{。求出：} \\ \max_{\substack{i - j \geq k}} \gcd(a_i, a_j) \]

时间复杂度 \(O(n\ln⁡n)\)。

考场上没想到这么好的做法，写了一个分解质因数，然后组合成所有可能的数值，放到 map 里面，判断就可以了。\(O(n\sqrt n)\) 跑不满大概 \(3\times 10^8\)。

\[\text{给定一个长为 } n \text{ 的 01 字符串 } S \text{。求有多少个长为 } n \text{ 的字符串序列，满足：} \\ A_0 = S, \quad A_n \text{ 为空，} \quad A_i \text{ 长度为 } n - i, \\ \forall 1 \leq i \leq n, \, A_i \text{ 是 } A_{i-1} \text{ 的子序列。} \\ \\ \text{定义：} S \text{ 是 } T \text{ 的子序列，当且仅当可以从 } T \text{ 中删去一些字符使之变为 } S \text{。} \]

想到了区间 dp,但是不会分离左右贡献，学到了。

我们假设区间的最后一步操作是 \(k\)，那么你就可以枚举 \(k\) 并递归左右操作了，最后乘上选择的组合数就可以了。

\[\text{给定一个 } n \times n \text{ 的网格图，点的编号从 } (1,1) \text{ 到 } (n,n)。 \\ \text{对于所有 } 1 \leq i < n, 1 \leq j \leq n, \text{ 存在一条从 } (i,j) \text{ 到 } (i+1,j) \text{ 的无向边，边权为 } 1。 \\ \text{对于所有 } 1 \leq i \leq n, 1 \leq j < n, \text{ 存在一条从 } (i,j) \text{ 到 } (i,j+1) \text{ 的无向边，边权为 } 1。 \\ \text{此外，还有 } m \text{ 个四元组 } (a_i,b_i,c_i,d_i)，\text{ 满足 } a_i \neq c_i \text{ 且 } b_i \neq d_i， \\ \text{对于每个四元组，存在一条从 } (a_i,b_i) \text{ 到 } (c_i,d_i) \text{ 的无向边，边权为 } |a_i-c_i| + |b_i-d_i| - 1。 \\ \text{求所有 } \frac{n^2(n^2-1)}{2} \text{ 对不同的点对之间的最短路之和，结果对 } 998244353 \text{ 取模。} \]

比较 hard 的题目，我们先有一个普遍的想法，看每一个特殊的四元组能有多少贡献，然后我们就会发现这个东西的情况很多，没法容斥。

接着，我们在考虑暴力的时候会想到对于每个点对暴力求答案。所以我们中和一下，先设一个 \(f_{a,b,c,d}\) 表示 \((a,b)\to (c,d)\) 的最多经过的四元组个数，发现答案是普遍贡献减掉 \(f_{a,b,c,d}\) 。

前面的答案是好求的，用等差数列求就可以了，答案是 \(\frac{n^3(n^2-1)}{3}\).然后我们呢为了减少计算量，我们发现假如用四元组的点来做网格图，每个格子的在相同终点下最多经过的四元组个数都是一样的，很方便计算。

我们先对四元组之间做一个 dp，\(dp_{i,j}\) 表示从四元组 \(i\) 到 \(j\) 的最大能经过多少四元组。这个用 floyd 求就可以了。

那我们来求这个玩意。先设一个 \(g_{x,y,i}\) 表示从格子 \((x,y)\) 出发到 \(i\) 号四元组的终点最多能经过多少四元组。我们发现这个东西可以从相邻格子和 \(dp_{i,j}\) 转移就可以了。

接下来是最难的，我们要怎么计算贡献。首先发现 \(\large f_{a,b,\text{对应i的斜侧区间}}\ge g_{Xa,Yb,i}\)，然后我们就考虑差分思想。我们枚举 \(x,y\) 然后枚举 \(g\) 所在答案矩形面积并就可以，具体来说我们排序然后跑指针相加即可。这是$ O(n^4)$ ，的，注意到我们枚举重了，所以我们存一下答案，枚举 \(x,y\) 时按照答案递增的方向枚举即可 \(O(n^3)\)。

\[\text{给定一棵 } n \text{ 个节点的无根树，每条边有黑白两种颜色，初始时所有边都是黑色的。有两种操作：} \\ 1. \text{操作 } 1\ u\ v: \text{将 } u \text{ 到 } v \text{ 的简单路径上的所有边颜色反转（黑变白，白变黑）。} \\ 2. \text{操作 } 2\ x: \text{查询从 } x \text{ 出发，只经过黑色边能到达的点的数量（包括 } x \text{ 自身）。} \\ \text{要求处理这些操作。} \]

这道题难在维护值，我们看一下怎么搞。首先正解从部分来，思考链上答案怎么求，很明显维护每个点的最左最右第一个白的点即可，线段树/平衡树后可以做。

跳到树上显然要树链剖分对吧，我们看一下怎么维护这个东西。有一个经典的 trick，我们对于每个点维护其轻儿子的可以到达的和，那么我们只需要跳到查询点最上方的可到达的点，就又变成链上求和了。

对于修改，我们把它拆成两个到根的修改要方便一点。看下我们要维护什么，应该是单点修改颜色和轻儿子可到达的大小，我们要同时维护两种颜色的线段树才好翻转，这个打 tag，就可以区间修改了，合并答案只有区间加法和线段树二分查询边的颜色，思维上来说不是很难，但是看着就难写。