关于 prufer 序

价值

提供了一种把无根树和序列区间对应的方法，方便 oi 中的计数。

性质

对于树点数为 \(n\) 编号为 \(1\to n\) 的树：

• prufer 序长度为 \(n-2\)。
• 在树上度数为 \(x\) 的节点会在 prufer 序中出现 \(x-1\) 次。
• 无根树每个点等价。

式子

无根树个数：\(\large n^{n-2}\) 。

另一个形式的：

\[\large n^{n-2}=\sum_{d_i>1,\sum^{n}_{i=1}d_i=2n-2}\begin{pmatrix} n-2\\d_1-1,d_2-1,\cdots,d_n-1 \end{pmatrix}\]

这个形式下，假如我们有贡献于每一个点价值的平方和度数有关，那么我们有：

\[\large\sum_{d_i>1,\sum^{n}_{i=1}d_i=2n-2}\begin{pmatrix} n-2\\d_1-1,d_2-1,\cdots,d_n-1 \end{pmatrix}\cdot k\prod^{n}_{i=1}w_i^{d_i+x}=k(\sum^{n}_{i=1}w_i)^{n-2}\prod^{n}_{i=1}w_i^{x+1}\]

还有一个例子：对于一颗无根有标号树，设其价值为所有节点的度数的平方的和。我们该如何计算？

对于每个点来说是等价的，所以我们直接算一个点的贡献就好了，为什么我们不用上面的式子呢，因为 \(w_i=d_i\) 所以用不了。

这个题我们在序列中算 \(1\) 个点的期望贡献就可以了。我们固定一个点，算当它度数为 \(k\) 个贡献，其他点我们随便填我们有：

\[\large f_n=n\sum^{n-1}_{i=0}\begin{pmatrix}n-2\\i-1\end{pmatrix}(n-1)^{n-i-1} \]