AT_abc277_g [ABC277G] Random Walk to Millionaire

ABC277G\(\mathbf{} \begin{Bmatrix} \frac{{\Large ABC277G} }{{\color{Red}\Large Solution} }\mathbf{} {No.32} \end{Bmatrix}\times{}\) NeeDna

题目描述

给定一个包含 \(N\) 个顶点和 \(M\) 条边的连通且简单的无向图。
对于 \(i = 1, 2, \ldots, M\)，第 \(i\) 条边连接顶点 \(u_i\) 和顶点 \(v_i\)。

高桥君一开始处于顶点 \(1\)，等级为 \(0\)，然后他会恰好进行 \(K\) 次如下操作：

• 首先，从当前所在顶点的所有相邻顶点中，等概率随机选择一个顶点并移动到该顶点。
• 然后，根据移动后的顶点 \(v\)，会发生如下事件：
  • 如果 \(C_v = 0\)：高桥君的等级增加 \(1\)。
  • 如果 \(C_v = 1\)：设高桥君当前等级为 \(X\)，他会获得 \(X^2\) 日元。

请输出在上述 \(K\) 次操作过程中，高桥君获得的金钱总额的期望值，结果对 \(998244353\) 取模。

题解

这是一道期望dp，我们观察一下数据范围，这题是 \(\Theta(nk)\) 的，我们可以干什么呢，可以遍历 \(k\) 次图!

• 我们会算第 \(i\) 步到达的等级期望 \(q_{i,u}=[(vis_u=1)\wedge (c_u=0)]+\sum^{}_{u\to v} q_{i-1,v}\times d_v^{-1}\).
• 这题的这个平方不是可以直接算的，你考虑当前的期望等级相当于包含转移到它的许多状态，直接开方，这些状态会两两相乘，这是错的。所以需要算期望“等级的平方值”（注意我的断句）。
• 我们发现 \((x+1)^2 = x^2+2\times x+1\) 这下我们就没有直接算 \((x+1)^2\) 了，而 \(x\) 是有线性可加性的，所以答案是对的。
• 所以我们就会算第 \(i\) 步到达的期望等级的平方值 \(E_{i,u}=[(vis_u=1)\wedge (c_u=0)]\times(2\times q_{i,u}-1)+\sum^{}_{u\to v} E_{i-1,v}\times d_v^{-1}\).

最后把 \(c_i=1\) 的答案累加即可。

细节

代码里 \(f_{k,u,0}\) 代表了 \([(vis_u=1)]\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3e3+10,mod=998244353;
int n,m,k,f[N][N][3],inv[N],c[N],d[N],ans;
vector<int>g[N];
int ksm(int x,int k){
	int ans=1;
	while(k>1){
		if(k%2) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;k/=2;
	}return ans*x%mod;
}
signed main(){
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		cin>>u>>v;d[u]++,d[v]++;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) inv[i]=ksm(d[i],mod-2);
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i];
	f[0][1][0]=1;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		for(int u=1;u<=n;u++){
			for(int v:g[u]){
				f[i][u][0]=(f[i-1][v][0]*inv[v]+f[i][u][0])%mod;
				f[i][u][1]=(f[i-1][v][1]*inv[v]+f[i][u][1])%mod;
			    f[i][u][2]=(f[i-1][v][2]*inv[v]+f[i][u][2])%mod;
			}
			if(c[u])ans=(ans+f[i][u][2])%mod;
			else{
                f[i][u][1]+=f[i][u][0];
				f[i][u][2]=(f[i][u][2]+2*f[i][u][1]-f[i][u][0])%mod;
			}
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}