2025/7/17 数据结构专题

2025/7/17 \(\mathbf{} \begin{Bmatrix} \frac{{\Large LEARN} }{{\color{Yellow}\Large Record} }\mathbf{} {No.9} \end{Bmatrix}\times{}\) NeeDna

题号	来源	知识点标签	难度（洛谷难度标记）	一句话题解（尽量）	备注（推荐理由，题目特点等等）
P7603	洛谷	堆	省选/NOI−	减半警报器板子	见套路
P7560	洛谷	扫描线	省选/NOI−	消除离开不够，转化为扫描线板子	洛谷省选/NOI−题，扫描线应用，适合进阶训练
P9596	洛谷	线段树	省选/NOI−	转化，线段树维护	洛谷省选/NOI−题，经典转化思路，线段树练手好题，适合进阶训练
loj2461	LOJ	分块		经典分块问题	LOJ经典分块题，分块思想实践
P9968	洛谷	二进制	提高+/省选−	二进制分组，暴力	洛谷提高+/省选−题，适合提高训练
gym 102331F	Codeforces	堆		减半警报器板子	见套路
P4198	洛谷	线段树	省选/NOI−	斜率单调栈维护	洛谷省选/NOI−题，斜率优化经典题，线段树练手好题，适合进阶训练
CF765F	Codeforces	线段树	NOI/NOI+/CTSC	线段树维护区间信息	Codeforces经典线段树题，线段树练手好题，适合进阶训练
P7561	洛谷	二分，扫描线	省选/NOI−	扫描线处理	洛谷省选/NOI−题，扫描线应用，适合进阶训练
CF803G	Codeforces	线段树，st 表	省选/NOI−	线段树维护区间信息	Codeforces经典线段树，st 表题，线段树练手好题，适合进阶训练
CF193D	Codeforces	线段树	省选/NOI−	线段树维护区间信息	Codeforces经典线段树题，线段树练手好题，适合进阶训练
CF377D	Codeforces	扫描线，线段树	省选/NOI−	线段树维护区间信息	Codeforces经典扫描线，线段树题，线段树练手好题，适合进阶训练
CF1677E	Codeforces	扫描线	省选/NOI−	扫描线处理	Codeforces经典扫描线题，扫描线应用，适合进阶训练
CF1446D2	Codeforces	根号分治	省选/NOI−	根号分治处理	Codeforces经典根号分治题，根号分治典型，适合进阶训练
CF436F	Codeforces	分块，斜率优化	NOI/NOI+/CTSC	分块处理	Codeforces经典分块，斜率优化题，分块思想实践，适合进阶训练
UOJ812	UOJ	主席树		经典主席树问题	UOJ经典主席树题
UOJ515	UOJ	Seg Beats		离线转化为 Seg Beats 板子	了解 Seg Beats
CF671E	Codeforces	线段树	NOI/NOI+/CTSC	线段树维护区间信息	Codeforces经典线段树题，线段树练手好题，适合进阶训练
P4314	洛谷	历史最值	省选/NOI−	历史最值标记处理	洛谷省选/NOI−题，历史最值处理模板，适合进阶训练
P2048	洛谷	st 表	省选/NOI−	ST表+堆维护前k大	洛谷省选/NOI−题，ST表应用经典，适合进阶训练
CF1491H	Codeforces	树分块	NOI/NOI+/CTSC	分块处理	Codeforces经典树分块题，分块思想实践，适合进阶训练
P5355	洛谷	莫队，bitset	省选/NOI−	莫队+bitset维护	洛谷省选/NOI−题，bitset优化经典，莫队算法练习，适合进阶训练
UOJ671	UOJ	线段树		线段树维护区间信息	UOJ经典线段树题，线段树练手好题
QOJ6630	QOJ	线段树		经典线段树问题	QOJ经典线段树题，线段树练手好题
CF1270F	Codeforces	根号分治	省选/NOI−	根号分治处理	Codeforces经典根号分治题，根号分治典型，适合进阶训练
UOJ169	UOJ	线段树		线段树维护区间信息	UOJ经典线段树题，线段树练手好题
CF1580C	Codeforces	根号分治	省选/NOI−	根号分治处理	Codeforces经典根号分治题，根号分治典型，适合进阶训练
P7708	洛谷	回滚莫队	省选/NOI−	经典回滚莫队问题	洛谷省选/NOI−题，莫队算法练习，适合进阶训练
P4755	洛谷	CDQ 分治，树状数组	省选/NOI−	经典CDQ 分治，树状数组问题	洛谷省选/NOI−题，CDQ分治经典，适合进阶训练
P9062	洛谷	分块	NOI/NOI+/CTSC	分块处理	洛谷NOI/NOI+/CTSC题，分块思想实践，适合进阶训练
P3437	洛谷	树套树	提高+/省选−	经典树套树问题	洛谷提高+/省选−题，适合提高训练
P4098	洛谷	主席树	省选/NOI−	经典主席树问题	洛谷省选/NOI−题，适合进阶训练
P2839	洛谷	线段树	省选/NOI−	线段树维护区间信息	洛谷省选/NOI−题，线段树练手好题，适合进阶训练
CF1051G	Codeforces	线段树合并，并查集	NOI/NOI+/CTSC	线段树维护区间信息	Codeforces经典线段树合并，并查集题，线段树练手好题，适合进阶训练
P3206	洛谷	CDQ	省选/NOI−	经典CDQ问题	洛谷省选/NOI−题，CDQ分治经典，适合进阶训练
P7602	洛谷	树状数组	提高+/省选−	经典树状数组问题	单 log 的套路可以积累
CF1172F	Codeforces	线段树	NOI/NOI+/CTSC	线段树维护区间信息	经典线段树题，线段树练手好题，适合进阶训练
CF1340F	Codeforces	线段树，分块	NOI/NOI+/CTSC	线段树维护区间信息	Codeforces经典线段树，分块题，线段树练手好题，适合进阶训练
CF1098D	Codeforces	set	省选/NOI−	set维护有序信息	Codeforces经典set题，适合进阶训练
UOJ164	UOJ	线段树		线段树维护区间信息	UOJ经典线段树题，线段树练手好题
P3658	洛谷	CDQ，树状数组	省选/NOI−	CDQ分治处理	洛谷省选/NOI−题，CDQ分治经典，适合进阶训练
loj3282	LOJ	线段树，最短路		线段树维护区间信息	LOJ经典线段树，最短路题，线段树练手好题
loj3038	LOJ	线段树		线段树维护区间信息	LOJ经典线段树题，线段树练手好题
P4602	洛谷	整体二分，树状数组	省选/NOI−	整体二分+树状数组	洛谷省选/NOI−题，整体二分应用，适合进阶训练
loj3030	LOJ	线段树，三位偏序		线段树维护区间信息	LOJ经典线段树，三位偏序题，线段树练手好题

P9968 [THUPC 2024 初赛] 二进制

题目描述

小 F 给出了一个这里有一个长为 \(n\) 的二进制串 \(s\)，下标从 \(1\) 到 \(n\)，且 \(\forall i\in[1,n],s_i\in \{0,1\}\)，他想要删除若干二进制子串。

具体的，小 F 做出了 \(n\) 次尝试。

在第 \(i\in[1,n]\) 次尝试中，他会先写出正整数 \(i\) 的二进制串表示 \(t\)（无前导零，左侧为高位，例如 \(10\) 可以写为 \(1010\)）。

随后找到这个二进制表示 \(t\) 在 \(s\) 中从左到右 第一次 出现的位置，并删除这个串。

注意，删除后左右部分的串会拼接在一起 形成一个新的串，请注意新串下标的改变。

若当前 \(t\) 不在 \(s\) 中存在，则小 F 对串 \(s\) 不作出改变。

你需要回答每一次尝试中，\(t\) 在 \(s\) 中第一次出现的位置的左端点以及 \(t\) 在 \(s\) 中出现了多少次。

定义两次出现不同当且仅当出现的位置的左端点不同。

做法

因为数字 \(n\) 最多有 \(\log n\) 位，所以我们把所有可能的答案都记下来，删除的时候标记偏移量，用桶存答案个数就可以了。\(O(n\log ^2 n)\)

CF803G Periodic RMQ Problem

题目描述

给你一个整数序列 \(a\)，你要执行 \(q\) 次操作，分两种：

• 1 l r x：将 \(a_l\sim a_r\) 赋值为 \(x\)。
• 2 l r：求 \(a_l\sim a_r\) 中的最小值。

我们认为这个问题太简单了，所以不直接给出 \(a\)，而是给出长度为 \(n\) 的序列 \(b\)，将 \(b\) 复制 \(k\) 份，拼在一起得到 \(a\)。

做法

动态开点线段树解决修改，对于查询线段树上没有的节点直 接在\(b_n\) 上查就行。

细节：在我们上面保留的点的基础上，相邻两个已经保留的点之间的最小值也是需要的（但不需要整段的信息，因为不会有询问只询问这一段的一半，或者是修改一半，不然这一段就会被分成两段甚至更多），所以在上面的基础之上，我们把相邻两个点之间的最小值也插入进去做线段树就没问题了。

所以空间要开 4 倍。

P7560 [JOISC 2021] フードコート (Day1) 没懂

题意

维护 \(n\) 个序列，\(m\) 次操作。每次在 \([l,\,r]\) 的序列末尾加 \(k\) 个数字 \(c\)，或者在开头删去 \(k\) 个数字（如果 \(k\) 大于等于序列长度则删完），或者查询序列 \(a\) 的第 \(b\) 个位置的数字。

做法

• 发现离开人数不够很麻烦，考虑将不够的人数加在询问上就 可以不管了。

• 现在问题变成区间加减，查寻第K 大，显然是扫描线板子。

P4198 楼房重建

题意

有 \(N\) 栋正在坐标轴上修建的楼房和 \(M\) 个时间节点，已知每个时间节点上会有一栋楼的高度发生变化。 问对于每个时间节点，小 A 在原点可以看到几栋楼房（基于日常生活理解）。

做法

• k递增才能看见考虑用线段树维护斜率最大值mx 和答案s。

• 如果改的是右儿子，就对左儿子没有影响。

• 如果改的是左儿子，就对右儿子的答案进行calc。如果 ki > mxlson，那对右儿子 calc，左儿子的 s 全赋成 0，反之 calc 左儿子。

P7603 [THUPC 2021] 鬼街 没听懂

P9596 [JOI Open 2018] 冒泡排序 2 没懂

题意

一个序列 \(A\) 的扫描次数为 \(\max_{i=1}^n \sum_{j=1}^i[a_j>a_i]\)。

证明

发现一次操作必定将恰好一个 \(p\) 前面大于他的数换到他后面(排除没有的)。原式子相当于对于每个位置 \(p\) ，把其前面大于他的换到他后面需要的扫描次数取 \(\max\) ，即操作后对于每个位置其前面没有大于他的，序列 \(A\) 就是拍好序列。

发现同样的值只有最后一个位置 \(p\) 有用，一种值的答案为 \(\sum [A_i>v]-(n-p)\)，其中可以把 \(n-p\) 看作后面比他大的值，因为如果后面有比他小的值 \(v2\) ，他的最后一个位置 \(p2>p\)，一定有 \(\sum [A_i>v2]-(n-p2)>\sum [A_i>v]-(n-p)\) ，即值 \(v\) 一定不优。

做法

开棵权值线段树直接维护这个式子的最值，权值线段树支持区间加，维护最大值即可。

P9247 [集训队互测 2018] 完美的队列 没懂

题意

有 \(n\) 个队列，容量为 \(a_i\)。\(m\) 次操作 \((l,r,x)\)，向第 \([l,r]\) 个队列插入 \(x\)，超出容量弹出队头。

求每次操作后全局颜色数量，\(n,m\le 10^5\)。

P7561 [JOISC 2021] 道路の建設案

题意

求前 $k $ 大的曼哈顿距离，先考虑求第 \(k\) 大的距离。

做法

第 \(k\) 大的距离，比较套路的做法是二分答案，然后计算距离 \(\le dis\) 的点对数。

曼哈顿距离不好求，考虑转化为切比雪夫距离，原来的点 \((x,y)\to (x+y,x-y)\) 。

那么这就是一个经典的二维数点问题。

同时我们不需要真正数有多少点对，点对数 \(\ge k\) 时直接返回即可。

所以具体操作是对所有点按 \(x\) 坐标排序，用队列维护 \(x\) 坐标在 \(dis\) 范围内的点，同时用 set 维护队列中的点的 \(y\) 坐标。

值域为 \(S\) ，则时间复杂度为 \(\mathcal{O}((n+k)\log n\log S+k\log k)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ffor(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define roff(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
using namespace std;
const int MAXN=2.5e5+10;
struct Node {int x,y;}t[MAXN];
int n,k,cnt;
vector<int> ans;
multiset<pair<int,int>> st;
int check(int len) {
	ans.clear(),st.clear();
	int pos=1; cnt=0;
	ffor(i,1,n) {
		if(i-1) st.insert({t[i-1].y,i-1});
		while(t[i].x-t[pos].x>len) st.erase({t[pos].y,pos}),pos++;
		auto it=st.lower_bound({t[i].y-len,0});
		while(it!=st.end()&&it->first<=t[i].y+len) {
			cnt++,ans.push_back(max(abs(t[i].y-it->first),abs(t[i].x-t[it->second].x))),it++;
			if(cnt>k) return 0;
		}
	}
	return 1;
}
void bfind(int l,int r) {
	int aans=0;
	while(l<=r) {
		int mid=l+r>>1;
		if(check(mid)) aans=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	check(aans);
	ffor(i,1,k-cnt) ans.push_back(aans+1);
	return ;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>k;
	ffor(i,1,n) {int x,y; cin>>x>>y,t[i]={x+y,x-y};}
	sort(t+1,t+n+1,[](Node A,Node B) {
		if(A.x!=B.x) return A.x<B.x;
		return A.y<B.y;	
	});
	bfind(1,4000000000);
	sort(ans.begin(),ans.end());
	for(auto v:ans) cout<<v<<'\n';
	return 0;
}

CF193D Two Segments 没懂

题意

给一个 \(1\sim n\) 的排列 \(a\)，求有多少种选择两个不重叠的区间 \([l_1, r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\) 的方法让这些元素排序之后在值域里是连续的一段。\(1\le n\le 3\times 10^5\)。

CF1677E Tokitsukaze and Beautiful Subsegments 没懂

题意

给定排列 \(\{p_n\}\)，定义一个区间 \([l,r]\) 是好的，当且仅当存在 \(l \le i < j \le r\)，满足 \(p_i\times p_j = \max\{p_l, p_{l + 1}, \dots, p_r\}\)，\(q\) 次询问 \([l,r]\)，求 \([l,r]\) 有多少个子区间是好的。\(n \le 2 \times 10^5, q \le 10^6\)