2025/7/14模拟赛

2025/7/14\(\mathbf{} \begin{Bmatrix} \frac{{\Large TEST} }{{\color{Yellow}\Large Record} }\mathbf{} {No.6} \end{Bmatrix}\times{}\) NeeDna

难度主观估计：\({\color{Yellow} t1} <{\color{Blue} t4} <{\color{Purple} t3} <{\color{Purple} t2}\)

t1

题意：

构造一个长度为 \(n\) ，有 \(k\) 个 \(1\) 的01串，求包含奇数个 \(1\) 的子串个数的最大值。

反思：

在这道题没有打表，暴力也写的不够好，思路方向不正确。

题解：

假设我们已经得到了一个01串，我们该怎样计算他的贡献，我们求一个前缀和数组 \(S\)。

假设一个子串 \([l,r]\) 对答案有贡献，有一个充要条件就是 \(S_{r}-S_{l} \equiv 1 \pmod 2\)

加入我们设 \(X=\sum_{i=0}^{n}[S_{i}\equiv 0 \pmod 2],Y=\sum_{i=0}^{n}[S_{i}\equiv 1 \pmod 2]\)

根据乘法原理那么答案就是 \(X\times Y\) 了。又因为 \(X+Y=n+1\)，根据基本不等式，假如要让 \(ans\) 最大，就要让 \(X,Y\) 尽量相等。

考虑一种构造满足这个条件：

• 前 \(k-1\) 个数都填 \(1\)。

• 最后一个 \(1\) 填在剩下的数中间。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,k,a[100005],cnt1,cnt0,num=1,sum=0;
int main(){
	cin>>n>>k;if(k==0){cout<<0<<'\n';for(int i=1;i<=n;i++) cout<<0<<' ';return 0;}
	for(int i=1;i<k;i++) a[num++]=1;a[(num+n+1)/2]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {sum+=a[i];if(sum%2==1) cnt1++;else cnt0++;}
	cout<<cnt1*(cnt0+1)<<'\n';for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';
}

t2

本题是CF1553I的简化版，做到 \(O(n^2)\) 即可。

t4

给定一棵 \(n\) 个点的树, 每一个结点都可以是黑色或白色, 每一条边的长度都为 \(1\) 。

定义两个点的距离为两个点最短路径上边的条数, 定义一棵树的价值, 为同色点距离的最大值。 请求出在所有情况下, 树的价值之和, 对 \(1e9+7\) 取模。

反思：

• 首先就没给这道题留够足够的时间，只留了20min左右的思考时间。

• 题意简单但也没读明白。

• 这道题的思路从链推广到树上，做法都是一样的，但是因为上一条，所以没看出来。

• 树的直径和代码能力有待提高和更深的认知。

代码晚上写了但是没调出来，贴一份wyb的code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const int N=1e6+10,mod=1e9+7;
vector<int> G[N];
int n,dep[N],dep1[N],mxdep,pl,rt,rt_,c[N];
ll pw[N]={1};
void dfs(int u,int fa){
	if(dep[u]>mxdep) mxdep=dep[u],pl=u;
	for(auto v:G[u]){
		if(v==fa) continue;
        dep[v]=dep[u]+1;
		dfs(v,u);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
	for(int i=1,u,v;i<n;i++){
		cin>>u>>v;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,0); 
    mxdep=0,dep[rt=pl]=0; dfs(rt,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) c[dep1[i]=dep[i]]++;
    mxdep=0,dep[rt_=pl]=0; dfs(rt_,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) c[dep[i]]++;
    int minn=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) minn=max(minn,min(dep[i],dep1[i]));
    int sum=pw[n],tot=n+1,ans=0;
    for(int i=mxdep;i>minn;i--){
        tot-=c[i];
        int nxt=pw[tot];
        (ans+=1ll*i*(sum-nxt+mod)%mod)%=mod;
        sum=nxt;
    }
    (ans+=1ll*minn*sum%mod)%=mod;
    cout<<ans;
	return 0;
}