Codeforces edu round11 F（斜率DP）

2016-04-26 19:55:10

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题意：给出 n 个数，有正有负，让你求出一个连续字段 [l,r]，使得 Sigma（（i - l + 1) * a[i]）, l<=i<=r 的值最大

思路：设 Si = a1+a2+...ai，Qi = 1*a1+2*a2+...+i*ai，那么 [l,r] 的答案就是 Qr - Ql-1 - (l - 1) * (Sr - Sl-1)。

　　设 G = Qr - Ql-1 - (l - 1) * (Sr - Sl-1)

　　       = Qr - (l-1) * Sr - Ql-1 + (l-1) * Sl-1

　　令 y = -Ql-1 + (l-1) * Sl-1 ，x = l-1

　　则 G = Qr - x * Sr + y

　　即 y = x * Sr - Qr + G

　　那么我们枚举 r ，对于每个 r 找到一个 l 使得 G 最大，那么也就是对于斜率为 Sr 且过（x,y）的直线在 y 轴上的截距最大。

　　考虑 r 时，1~r-1 可以看成二维坐标上的一些点，那么我们维护一个上凸的凸壳，那么把斜率为 Sr 的直线从上方降下来，与直线相交的第一个点就是答案了，由于我们维护的是凸壳，所以从凸壳左边到右边，答案是先递增后递减的，因此可以在凸壳上三分 / 二分，就能得到答案了，凸壳可以用类似凸包的方法来维护。

　　Notice：注意整数三分的细节。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define getmid(l,r) ((l) + ((r) - (l)) / 2)
#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MP(a,b) make_pair(a,b)
#define PB push_back
#define X first
#define Y second

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
const double eps = 1e-8;
const int INF = (1 << 30) - 1;
const int MAXN = 200010;

int n,sz;
ll ans,S[MAXN],Q[MAXN];
pll sta[MAXN];

ll Gety(int p){
    return -Q[p - 1] + 1ll * (p - 1) * S[p - 1];
}

void Insert(ll x,ll y){
    while(sz >= 2){
        ll cur = (y - sta[sz].Y) * (sta[sz].X - sta[sz - 1].X)
                - (sta[sz].Y - sta[sz - 1].Y) * (x - sta[sz].X);
        if(cur >= 0) sz--;
        else break;
    }
    sta[++sz] = MP(x,y);
}

ll Cal(int v,ll k){
    return sta[v].Y - k * sta[v].X;
}

ll Solve(ll k){
    int l = 1,r = sz;
    while(l < r - 1){
        int mid1 = getmid(l,r);
        int mid2 = getmid(mid1,r);
        if(mid1 == mid2) break;
        ll res1 = Cal(mid1,k);
        ll res2 = Cal(mid2,k);
        if(res1 > res2) r = mid2;
        else l = mid1;
    }
    ll res = 0;
    for(int i = l; i <= r; ++i) res = max(res,Cal(i,k));
    return res;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        int a;
        scanf("%d",&a);    
        ans = max(ans,(ll)a);
        S[i] = S[i - 1] + a;
        Q[i] = Q[i - 1] + 1ll * i * a;
    }
    Insert(0,Gety(1));
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        ll res = Solve(S[i]) + Q[i];
        ans = max(ans,res);
        Insert(i - 1,Gety(i));
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}