Book--约瑟夫环
2015-05-07 19:31:50
总结：一个数学上的问题，小结一下吧。
问题：N个人顺时针站成一圈，编号1～N，初始位置为1，每次让第m个人出列，问最后剩下的人的编号。
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总结下来有那么四条公式，每次让第m个人出列。
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f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
- f（0）= 0，f（i） = （f（i-1）+m）%（n-i+1）。【如f（2）=（f（1）+m）%（n-1）】
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f[1]=1; f[i]=(f[i-1]+m)%i (i>1); if(f[i]==0) f[i]=i;
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P(1, m, k)=1 (i = 1); P(i, m, k)=[P(i - 1, m, k ) + m - 1] % i + 1 (i > 1, 此处先减1是为了让模i的值不为0)
I：公式2能求出每一轮的位置（0～N-1）
II：最重要的是第1条公式，f[i]表示i个人做约瑟夫环游戏，最后剩下的人的编号（0～i-1）
公式简证：
设现在有n个人，编号：0,1,2,....,n-2,n-1，位置在0
第m个人（编号m-1）出列后：0,1,2,..,m-2,m,m+1,...,n-1 ①
--> 剩下的n-1个人重新构成： 0,1,2,....,n-2 ②
--> ①②两式形成位置映射：相当于把①的m～n-1部分全减去m放在前面，①的 0～m-2 部分全加上n-m放在后面。（其实用环结构来想就很好理解了）
--> 所以要把n-1个人序列里面的位置还原到n个人的序列里的位置，就要加上m（因为n-1序列里的0在n序列里是m-1）
--> 推得从n-1转移到n，有逆推公式 f[i] = (f[i-1] + m) % i (i>1)
