Book--强连通分量

2014-10-14 23:01:26

最近学了一发强连通分量，来小结一下。

一、定义：在一个有向图中，如果任意两个点都是“相互可达”的，那么说这个图是强连通的。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。易得：强连通图的强连通分量就它自己。

二、具体求法：

（1）Tarjan

　　这个算法利用了DFS时间戳。思考：假设我们DFS搜到了一个SCC，那么从这个点（令为K点）搜下去，总能找到一个子节点（令为P点），使得P能返回K，那么从 K -> P 这一段DFS路径上的点就是处于一个SCC中的。我们发现这个过程是可以递归处理的，假设有两个SCC串在一次，那么DFS下去会先处理掉比较深的（也就是时间戳大的）SCC，然后回溯回去处理比较浅的SCC。所以要定理low[i]数组记录 i 点的子节点能返回的最祖先节点的时间戳，dfn[i]：i 点的时间戳。

void Dfs(int p){
    dfn[p] = low[p] = ++tot;
    S.push(p);
    for(int i = first[p]; i != -1; i = next[i]){
        int v = ver[i];
        if(!dfn[v]){//子节点未遍历过，则搜下去，回溯后更新当前点的low值
            Dfs(v);
            low[p] = min(low[p],low[v]);
        }
        else if(!sc[v]){//若子节点不属于其他scc且已经遍历过，那么这个点实际上
            low[p] = min(low[p],dfn[v]);//是当前节点的祖先节点，直接用它的时间戳更新当前点low值
        }
    }
    if(low[p] == dfn[p]){
        ++scnt;
        while(1){
            int x = S.top();
            S.pop();
            sc[x] = scnt;
            if(x == p) break;
        }
    }
}

void Tarjan(){
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(sc,0,sizeof(sc));
    while(!S.empty()) S.pop();
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        if(!dfn[i]) Dfs(i);
}

（2）缩点

　　缩点的目的在于把有向图中的各个强连通分量缩成一个点，然后有向图就变成了DAG，更利于分析问题，而且方便记忆化搜索。

　　具体做法是：tarjan完后重新根据scc建图，扫一遍原图中的所有边，如果该边对应的两个点在同一个scc中，不用建边；否则，在两个scc间建一条有向边。转化为DAG。

　　（至于有人用并查集来做。。。不太了解）

（3）后言

　　watashi翻译的书里提供的是两次DFS的做法（需要将边反向），为kosaraju算法。总的来说tarjan算法的效率比kosaraju高30%