题解：P10580 [蓝桥杯 2024 国 A] gcd 与 lcm

P10580 题解

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前置知识

容斥原理

(1) 集合 \(S\) 中不具有性质 \(P_1,P_2,\cdots,P_n\) 的对象个数为

\(\begin{aligned}|\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\cdots\cap\overline{A_n}|&=|S|-\sum_{i=1}^n|A_i|+\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}|A_i\cap A_j|-\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}\sum_{k>j}|A_i\cap A_j\cap A_k|\\&+\cdots+(-1)^{n-1}|A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_n|\end{aligned}\)

简记（我的方法）：奇减偶加

(2) 集合 \(S\) 中至少具有性质 \(P_1,P_2,\cdots,P_n\) 之一的对象个数为

\(\begin{aligned}|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n|&=\sum_{i=1}^n|A_i|-\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}|A_i\cap A_j|+\sum_{i=1}^n\sum_{j>i}\sum_{k>j}|A_i\cap A_j\cap A_k|+\cdots\\&+(-1)^{n-1}|A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_n|\end{aligned}\)

简记：奇加偶减

思路

首先，显然 \(a\) 肯定都是 \(x\) 的倍数，问题就是在 \(\frac{y}{x}\) 上。

我们可以将 \(\frac{y}{x}\) 质因数后一个个考虑，设 \(\begin{aligned}\frac{y}{x}=\sum_{i=1}p_i^{e_i}\end{aligned}\)，对于每一个质数分开去考虑，最后把答案乘起来（乘法原理），不妨把最小公倍数是 \(x\) 和最大公倍数是 \(y\) 看做两个条件，然后去容斥。

对于一个质数 \(p_i\) 我们有。

发现算最大公因数是 \(x\)，最小公倍数是 \(y\) 的方案数是比较困难的，所以我们不妨把题目转化为集合 \(S\) 中不具有性质 \(P_1,P_2\) 的对象个数有多少，其中：

• \(P_1\) 为最大公约数不为 \(x\)。
• \(P_2\) 为最小公倍数不为 \(y\)。

于是有。

• 没有 \(P_1,P_2\) 的限制，我们可以取到 \([0,e_i]\)，所以 \(|S|=(e_i+1)^n\) 。
• 只有 \(P_1\) 的限制，我们可以取到 \([1,e_i]\)（取到 \(0\) 最大公因数就是 \(x\) 了），所以 \(|A_1|=e_i^n\)。
• 只有 \(P_2\) 的限制，我们可以取到 \([0,e_i-1]\)（取到 \(e_i\) 最小公倍数就是 \(y\) 了），所以 \(|A_2|=e_i^n\)。
• 对于有 \(P_1,P_2\) 的限制，我们只能取到 \([1,e_i-1]\)，所以 \(|A_1\cap A_2|=(e_i-1)^n\)。

故，一个质数的方案数为 \(|S|-|A_1|-|A_2|+|A_1\cap A_2|=(e_i+1)^n-2\times e_i^n+(e_i-1)^n\)。

最后把每个质数的方案数乘起来即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
ll x,y,n,t,ans;
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
ll ksm(ll a, ll b){ll res=1;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;}
void solve(){
    x=read();y=read();n=read();t=y/x;ans=1;
    for(int i=2; i<=sqrt(t); i++) if(t%i==0){
        ll num=0;
        while(t%i==0) t/=i,num++;
        ans=ans*((ksm(num+1,n)-(2*ksm(num,n)%mod)+ksm(num-1,n))%mod+mod)%mod;
    }
    if(t>1){ans=ans*((ksm(2,n)-2)%mod+mod)%mod;}
    write(ans);putchar('\n');
}
int main(){
    ll T=read();while(T--)solve();
    return 0;
}