题解：AT_arc060_b [ABC044D] 桁和

ABC044D 题解

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题意

给定一个 \(n\) 和 \(s\)，求一个最小的 \(m\) 使得 \(n\) 在 \(m\) 进制下各位数的和为 \(s\)。

思路

这类题其实可以往 \(\sqrt n\) 部分暴力，剩下的利用其在 \(m,m\geqslant\sqrt n\) 进制下只有两位的特性找性质。

类似的有这道题：P2425。

这道题首先先判断特殊情况。

1. \(n=s\)，此时显然 \(m=n+1\)。
2. \(n<s\)，此时无解，输出 -1。

接下来就开始暴力枚举所有的小于 \(\sqrt n\) 的进制下的 \(s\)，一一判断，相等的直接输出。

紧接着，开始思考大于等于 \(\sqrt n\) 的情况，此时 \(n\) 在 \(m\) 进制下只有两位，不妨设 \(n=\overline{xy}\)，则有如下两个式子。

• \(n=mx+y\)。
• \(s=x+y\)。

两式相减得 \(n-s=(m-1)x\)。

所以 \(x,m-1\) 均为 \(n-s\) 的因数，同时要满足 \(m-1\geqslant\sqrt n\)，所以考虑枚举 \(x\)，然后判断其是否是 \(n-s\) 的因数，如果是再算其是否满足题意。

于是，就过了这道题啦~~~

实现细节

1. 在枚举 \(x\) 时，因为要求的 \(m\) 要尽量小，所以 \(x\) 就要尽量大，所以考虑倒序枚举。
2. 最后如果没有找到 \(m\) 满足题意，记得输出 -1。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,s;
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
ll f(ll a, ll b){ll res=0;while(a){res+=a%b;a/=b;}return res;}
int main(){
    n=read();s=read();
    if(n<s){write(-1);putchar('\n');return 0;}
    if(n==s){write(n+1);putchar('\n');return 0;}
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++) if(f(n,i)==s){write(i);putchar('\n');return 0;}
    for(int i=sqrt(n); i>=1; i--) if((n-s)%i==0&&f(n,(n-s)/i+1)==s){write((n-s)/i+1);putchar('\n');return 0;}//记得是倒序枚举
    write(-1);putchar('\n');//无解
    return 0;
}
//n=mx+y
//s=x+y
//n-s=(m-1)x