题解：P11063 【MX-X4-T3】「Jason-1」数对变换

P11603 题解

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思路

首先，看到题目想到一个性质：对于一个数 \(x\)，\(x\) 除以一个比 \(x\div2\) 大的数的结果一定为 \(0\)，再配合上题目给不能超过 \(65\)，自然地想到二进制拆分。

首先，先判断肯定有解的情况：\(a=b=c=d\)，显然输出 \(0\) 即可，接着判断无解的情况，也很简单，当且仅当 \(a\times b<c\times d\) 或 \(c*d\) 时，因为你一次操作之后 \(a\times b\) 的值只可能不断地减小（整除的那一部分余数乘以另一个数），而且最多减到 \(2\)（不信你手玩试试）。

接下来就开始解题，配合上前面想到的性质，很自然的想到，先用一次操作将 \(b\gets a\times b\)，然后不断地把 \(b\gets b\div2+1\)，直到 \(b\div2+1\leq c\times d\)，那么直接 \(b\gets c\times d\)，接下来直接将 \(a\gets c,b\gets d\)。（因为 \(a=1,b=c\times d\)）

对于一次赋值操作可以选择先将 \(a\gets b\div2+1,b\gets1\)，然后再 \(a\gets1,b\gets b\div2+1\)，但是这样答案会跑过 \(65\)，所以考虑这样转换会浪费一步，所以可以直接轮换着赋值，即 \(a\gets b\div2+1,b\gets 1\)，接着 \(a\gets 1,b\gets a\div 2+1\)，于是问题就解决了。

注意，这样要特判最后一步是赋值 \(a\) 还是 \(b\)，别让两个顺序反了。

至于小于等于 \(65\) 的正确性很好证明，首先一开始 \(b\gets c\times d\)，和最后得到答案的都是花费一步，而中间的步数最多为 \(63\)，因为 \(a\times b\leq 10^{18},2^{63}>10^{18}\)，加起来最多正正好是 \(65\) 步！结束啦！！！

只能说这题出得很好！\(65\) 竟然分配的这么准确！

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#define ll long long
#define pll pair<ll,ll>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll T,a,b,c,d,num,awa;
vector<pll> op;
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
void work(ll awa, ll n){op.pb(mp(awa,n));}
int main(){
    // freopen("1.in","r",stdin);
    T=read();while(T--){
        a=read();b=read();c=read();d=read();op.clear();
        if(a*b<c*d){
            write(-1);putchar('\n');
            continue;
        }
        if(a==c&&b==d){
            write(0);putchar('\n');
            continue;
        }
        if(c*d==1){
            write(-1);putchar('\n');
            continue;
        }
        op.pb(mp(1,a));b=a*b;num=c*d;awa=1;
        while(b!=num){
            if(awa==1) awa=2;else awa=1;
            if(b/2+1>num) work(awa,b/2+1),b=b/2+1;
            else work(awa,num),b=num;
        }
        if(awa==1) awa=2;else awa=1;
        if(awa==2) op.pb(mp(awa,c));
        else op.pb(mp(awa,d));
        write(op.size());putchar('\n');
        for(int i=0; i<op.size(); i++) write(op[i].fi),putchar(' '),write(op[i].se),putchar('\n'); 
    }
	return 0;
}