CF1513B 题解

CF1513B 题解

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题意

给定一个数组 \(a\)，问在 \(a\) 中有多少种排列满足对于任意 \(i(i\in[1,n))\) 有 \(a_1\&a_2\&a_3\&\cdots\&a_i=a_{i+1}\&a_{i+2}\&a_{i+3}\&\cdots\&a_n\)。

前置知识

1. 位运算，知道与运算是两者都为真则为真，两者有一者为假则为假，并能推出 \(a\&a=a(a\in\mathbb{N})\)。

思路

不妨设 \(cnt=a_1\&a_2\&a_3\&\cdots\&a_n\)。

依题，\(a_1=a_2\&a_3\&a_4\&\cdots\&a_n\)；

两边同时与上 \(a_1\)，则有 \(a_1=cnt\)。

依题，\(a_1\&a_2\&a_3\&\cdots\&a_{n-1}=a_n\)；

两边同时与上 \(a_n\)，则有 \(a_n=cnt\)。

依题，\(a_1\&a_2=a_3\&a_4\&a_5\&\cdots\&a_n\)，

两边同时与上 \(a_1\&a_2\)，则有 \(a_1\&a_2=cnt\)。

已知 \(a_1=cnt\)，所以 \(a_2\) 可以为任意数。

同理，\(a_3,a_4\cdots,a_{n-1}\) 也可以为任意数。

于是，问题就转化为，给定一个数组 \(a\)，求有多少种排列满足首位均为 \(cnt\)。

于是再设 \(num\) 为 \(a\) 数组中等于 \(cnt\) 的个数。

于是首位两个是定的，有小学学过的组合知识，首位的方案数为 \(num\times(num-1)\)，而中间排列的方式为 \((n-2)!\)。

故，答案为 \(num\times(num-1)\times(n-2)!\)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define mod 1000000007
using namespace std;
long long n,a[200005],T,num,cnt,ans;
//cnt为a1^a2^a3^...^an
//num为a数组中与cnt相同的个数 
int main(){ 
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n);
		cnt=0;num=0;//初始化 
		for(int i=1; i<=n; i++){
			scanf("%lld",&a[i]);
			if(i>1) cnt&=a[i]; 
			else cnt=a[i];
		}
		for(int i=1; i<=n; i++) if(a[i]==cnt) num++;
		ans=(num-1)*num%mod;
		for(int i=1; i<=n-2; i++) ans=ans*i%mod;;//计算(n-2)!
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}