CF1722G 题解

CF1722G 题解

题意

给定一个正整数 \(n\)，要求构造一个长度为 \(n\) 的数组，使得数组的奇数项的异或和等于偶数项的异或和。

有多组数据。

前置知识

位运算，知道 \(a\oplus a=0,0\oplus a=a\)。

思路

注意到，题目要求每个数各不相同，于是想到可以让数组为 \(1,2,3,\cdots,n-1,a_n\)。前面几个为各不相同的数，最后一个简单处理下即可。

但是！这样会重复，\(a_n\) 可能会和前面的数重复，所以令 \(x=1\oplus2\oplus3\oplus\cdots\oplus(n-3)\)，则让数组为 \(1,2,3,\cdots,n-3,2^{18},2^{19},x\oplus2^{18}\oplus2^{19}\)。于是，就快乐地 AC 啦~~~

等等，没结束，你还没告诉我这为啥就不重复了捏？

因为，打开计算器，发现 \(2^{18}=262144,2^{18}>2\times10^5\)，所以，前面的 \((n-1)\) 个数是互不相同的（因为 \(n\leqslant2\times10^5\)），而 \(x\leqslant2\times10^5\)，所以最后一个数是不等于前面的任何一个数的，而且它大于 \(2^{19}\)。

等等！我还有疑问，为啥这是正确的捏？

其实也非常简单，有前置知识，任意一个实数 \(a\)，有 \(a\oplus a=0,0\oplus a=a\)，而我们知道，和最后一项同奇偶的项数的异或和为 \(2^{19}\oplus\) 所有数字小于 \(2^{18}\) 且与最后一项异奇偶的所有数的异或和；和最后一项异奇偶的项数的异或和为 \(2^{19}\oplus\) 所有数字小于 \(2^{18}\) 且与最后一项异奇偶的所有数的异或和。两者相同。

再等等！我懂了结论的正确性了，但你是咋推出来的呢？

很简单，要学会偷懒！做题肯定想要特殊处理的少，那既然 \(1\) 个不行，那就试试 \(3\) 个呗！而异或要是两个数在二进制下有一位有且只有一个为 \(1\) 的情况下，就为 \(1\)，而大于一个数的数一定与这个数不同，于是就考虑大于 \(2\times10^5\) 的 \(2\) 的指数幂，就出来啦~

哦，结束了，都懂了，上代码喽！

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
long long T,n,x,num=1<<18;//大于200005的第一个二次方幂。
int main(){
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		x=0;//注意初始化！
		scanf("%lld",&n);
		for(int i=1; i<=n-3; i++){
			printf("%lld ",i);
			x^=i;
		}
		printf("%lld %lld %lld\n",num,num<<1,x^num^(num<<1));
	}
	return 0;
}