CF86A 题解

CF86A 题解

题意

求 $ \max\limits_{x=l}^{r} f(x),f(x)=(\underbrace{99\cdots9}_ {\log_{10}x+1\text{个}9}-x)\times x
$。

思路

看了看题目，用我们聪明的大脑一想，\(f(x)=(10^{\log_{10}x+1}-1-x)\times x=-x^2-x+x\times10^{\log_{10}x+1}\)，仔细一想这不就是一个开口向下的二次函数吗？于是，题目就是二次函数最值问题。

设 \(cnt=10^{\log_{10}x+1}-1\)

所以，函数对称轴就为 \(\frac{cnt}{2}\)。

因为函数开口向下，所以：

• 当 \(x\in(-\infty,\frac{cnt}{2}]\)，函数单调递增。
• 当 \(x\in[\frac{cnt}{2},+\infty)\)，函数单调递减。
• 当 \(x=\frac{cnt}{2}\) 时，函数有最大值。

于是，求函数图像就可以分为以下三种情况：

1. 当 \(l\leqslant r<\frac{cnt}{2}\)，则对于任意 \(x\)，有 \(f(x)\) 单调递增，所以有当 \(x=r\) 时，有函数最大值 \(f(r)\)。
2. 当 \(\frac{cnt}{2}<l\leqslant r\)，则对于任意 \(x\)，有 \(f(x)\) 单调递减，所以有当 \(x=l\) 时，有函数最大值 \(f(l)\)。
3. 当 \(l\leqslant\frac{cnt}{2}\leqslant r\)，则当 \(x=\frac{cnt}{2}\) 时，函数有最大值。

于是，这题就做出来了。

总结

1. 二次函数最值问题。
2. 单调性。
3. 分类讨论。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
long long l,r,wr,cnt;
int main(){
    scanf("%lld %lld",&l,&r);
    wr=log10(r);
    cnt=pow(10,wr+1)-1; 
    if(l>=cnt/2) printf("%lld",l*(cnt-l));//f(l)处值最大 
    else if(r<cnt/2) printf("%lld",r*(cnt-r));//f(r)处值最大 
    else printf("%lld",cnt/2*(cnt-cnt/2));//对称轴处f(x)最大，输出对称轴f(x)的值 
    return 0;
}