P1409题解
P1409 题解
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题意
题目的意思浅显易懂：
\(n\) 个人站成一排，小明（临时演员）是第 \(m\) 个人，每轮上帝会投一次筛子，分为以下情况：
- 若掷到 \(1\)，则队首的人获胜；
- 若掷到 \(2\)，\(4\)，\(6\)，则队首的人出队；
- 若掷到 \(3\)，\(5\)，则队首的人排到队尾。
问：小明有多少的胜率？（注意：输出保留九位小数）
思路
这不就是一道 dp 和数学结合起来的题吗？？？
分析
我们就设二维数组 \(f[1005][1005]\)，\(f[i][j]\) 表示有 \(i\) 个人，小明在第 \(j\) 个位置，小明的胜率。
易知，\(f[1][1]=1\)，因为只有一个人的时候小明直接胜利！且由题意得 \(j\leqslant i\)。
接下来，我们需要把题目带进来，求出状态转移方程式（动态规划的递推式）。
- 掷到 \(1\)，则队首的人获胜，这时候，小明有 \(\frac{1}{6}\) 的概率会输掉（对手的人胜利了，小明就输了）。
- 掷到 \(2\)，\(4\)，\(6\)，则队首的人出队，此时，队首的人有 \(\frac{1}{2}\) 的概率会转回队尾，（那又是一个天道好轮回了……）也就是相当于小明又往前走了一步（\(j-1\)），而总人数（\(i\)）不变，表示为 \(f[i][j-1]\)。
- 掷到 \(3\)，\(5\)，则队首的人排到队尾，此时，队首的人有 \(\frac{1}{3}\) 的概率出队，也就是相当于小明又往前走了一步（\(j-1\)），而总人数却又少了一个人（\(i-1\)），表示为 \(f[i-1][j-1]\)。
列出了上表，dp递推式也就很简单了，由于小明为主角，绝不能输，所以就不讨论第一种情况，所以，对于 \(x\)，\(y\)（\(x\leqslant y\)，\(x\)，\(y\) 为正整数），都有 \(f[x][y]\)，此时有 \(\frac{1}{2}\) 的概率跳到 \(f[x][y-1]\)；有 \(\frac{1}{3}\) 的概率跳到 \(f[x-1][y-1]\) 所以推出动态规划递推式：
\(f[x][y]=\frac{1}{2}f[x][y-1]+\frac{1}{3}f[x-1][y-1]\)。
最后小明就会跳到 \(f[u][1]\)（\(u\) 为正整数且 \(u\leqslant n\)）（这里 \(u\) 是代表当小明为第一个人时，总共还剩几人），小明就到了第一个，上帝要为他摇骰子了！而当小明为第一个时，\(j=1\)，所以没有 \(f[u][0]\) 或 \(f[u-1][0]\)，所以我们要单独推当 \(j=1\) 时的情况：他有 \(\frac{1}{6}\) 的概率会胜利，而又会有 \(\frac{1}{3}\) 的概率出局（要求小明的胜率，这种情况不讨论），也有 \(\frac{1}{2}\) 跳到队尾，也就是跳到 \(f[u][u]\)（又是一个天道好轮回），所以 \(f[u][1]=\frac{1}{6}+\frac{1}{2} f[u][u]\)。
这就可以推广到所有 \(j=1\) 时的情况，因此我们就会建立这么多个循环往复的等式，这是一个连续的多元一次方程组，是容易解决的，观察一下系数，然后就可以用代入消元法解决了。（谢谢 Aw顿顿 ）
观察系数的代码如下：
for(int j=2; j<=i; j++){//观察系数
sum=sum/2;
num=num/2+f[i-1][j-1]/3;
}
总结：
- 坑点（也不算吧）：输出保留九位小数。
- 需要的基础：dp+数学（数论）。
- dp 比较别致一点，因为 dp 数列可能会构成一个环，所以须要观察系数，然后就可以用代入消元法解决了。
- 当小明第一个人时，若遇到第二种情况，还需要重新排到队尾，千万不可结束，不然听取 WA 声一片。
废话不多说了，上总代码！
注释在代码里了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
double f[1005][1005];
int main(){
cin>>n>>m;
f[1][1]=1;//初始化！只有一个人的时候你直接胜利！别忘了写这一行
for(int i=2; i<=n; i++){
double sum=0.5,num=1.0/6.0;
//1.0/6.0和1/6可有大区别了！
//1/6=0.166666667……，取整一下为0
//1.0/6.0则是相当于(double)1/6
for(int j=2; j<=i; j++){//观察系数
sum=sum/2;
num=num/2+f[i-1][j-1]/3;
}
//不断将f[i][j-1]带入f[i][j],最终就可以求出下面二式
f[i][i]=num/(1-sum);//解出了f[i][i]
f[i][1]=f[i][i]/2+1.0/6.0;//解出了f[i][1]
for(int j=2; j<i; j++) f[i][j]=f[i][j-1]/2+f[i-1][j-1]/3;//前面推出的解析式（递推式？到底说算是什么啊……）
}
printf("%.9lf",f[n][m]);//保留九位输出
return 0;
}
//P上水印
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