零状态响应及全响应

零状态响应及全响应

例题

• 已知系统微分方程为\(y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f'(t) + 3f(t)\)，\(0^-\)的初始条件为\(y(0^-) = 1, y'(0^-) = 2\)，设\(f(t) = \epsilon (t)\)

零状态响应

概念

• 零状态响应是线性系统（尤其是电路与信号系统）分析中的一个核心概念，它特指‌当系统的初始状态为零（即系统中所有储能元件，如电容、电感，初始时刻没有储存能量）时，仅由外部施加的激励（输入信号）所引起的系统响应‌。 它与由初始储能引起的“零输入响应”共同构成系统的“全响应”。‌

题解

• 题目：求例题中的零状态响应

步骤1

• 对方程两边进行拉普拉斯变换：
  $s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = sF(s) + 3F(s) $

• 得到传递函数\(H(s)\)

$H(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} $

• 得
  $F(s) = \frac{1}{s} $

• 将\(Y_{zs}(s) = H(s) F(s)\)带入，得
  $ Y_{zs}(s) = \frac{\frac{3}{2}}{s} - \frac{2}{1 + s} + \frac{\frac{1}{2}}{s + 2} $

步骤2

• 将方程进行逆变换，得系统的零状态响应
  $y_{zs}(t) = (\frac{3}{2} - 2e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t})\epsilon(t) (t \succeq 0) $

全响应

概念

• 全响应是线性电路或系统中由零输入响应与零状态响应叠加形成的总响应，其数学表达式为\(y(t)=y_{zs}(t)+y_{zi}(t)\)。该响应产生于动态元件初始储能与外部激励共同作用的条件下，反映电路在两种激励源叠加下的动态特性

题解

• 题目：求例题中全响应
• 全响应为零状态响应与零输入响应的叠加，即：
  $y(t) = y_{zs}(t) + y_{zi}(t) $
• 由题意得，方程的零输入响应为\(y_{zi} = 4e^{-t} - 3e^{-2t}\)

求零输入响应的过程不再赘述，具体过程如下：求解零输入响应过程

• 将零状态响应和零输入响应的方程带入，得全响应方程为：
  \(y(t) = \frac{3}{2} + 2e^{-t} - \frac{5}{2}e^{-2t} (t \succeq 0)\)