卷积与传递函数

卷积与传递函数

卷积

通式

$f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t) f(t - \tau)d\tau $

例题

\[\displaystyle \left\{\begin{array}{l} f_1(t) = \epsilon (t) ,\text{(1)} \\ f_2(t) = e ^{-t} \epsilon (t), \text{(2)} \end{array}\right.\]

$\to \text{设：} y(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t) f(t - \tau)d\tau $

• 分类讨论t的范围

阶跃函数在t < 0时恒为0

• \(t<0\):

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} 0 d\tau = 0 $

• $t \succeq 0 $ :

\(y(t) = \int_0^{t}e^{\tau - t}d\tau\)

\(\to y(t) = 1 - e^{-t}\)

\(\to \text{即：} f_1(t) * f_2(t) = (1 - e^{-t}) \epsilon(t) (t\succeq 0)\)

电路的传递函数

概念

• 传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} $，其中Y（s）、U（s）拉普拉斯变换。传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是建立在传递函数的基础之上。传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一

公式推导

元件名称	伏安关系	VAR算子模型
电阻	u(t) = Ri(t)	u(t) = Ri(t)
电感	$u(t) = L\frac{di(t)}{dt} $	pLi(t)
电容	$\frac{1}{C} \int_{-\infty}^ti(t)d\tau $	$u(t) = \frac{1}{pC} i(t) $

例题

• 求$u_0(t) 关于f(t)的传递函数 H(p) $
  

$\to \text{由题意得：} \frac{p//2 + 2 + \frac{2}{p}}{2 + \frac{2}{p}}u_0(t) = f(t) $

属于\(u_0(t)\)串联分压状态

• 化简方程，得

$\frac{2p^2 + 3p + 2}{p^2 + 3p + 2}u_0(t) = f(t) $

$\to \text{即:} H(t) = \frac{f(t)}{u_0(t)} = \frac{p^2 + 3p + 2}{2p^2 + 3p + 2} $

p:即求导,

\(pf(t) = \frac{df(t)}{dt}。 \text{同理,} p^2f(t) = \frac{p^2f(t)}{dt^2}\)

零输入相应

概念

• 在没有外加激励时，仅由t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。

解题方式

• 可使设输出函数为0，等效为多阶导函数求根问题

例题

• 描述LTI连续系统的微分方程如下：
  $y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f''(t) + f'(t) + f(t) , y_{zi}(0^-) = 1, {y'}_{zi}(t) = 1 $
• 试求系统的零状态响应\(y_{zi}(t)\)
• 由于使系统的零状态，所以设\(f(t) = 0\)，得

\({y''}_{zi}(t) + 5{y'}_{zi}(t) + 6y_{zi}(t) = 0\)

\(\to \text{得关于} y_{zi}(t) \text{状态方程:} r^2 + 5r + 6 = 0\)

\[\to \text{得} \displaystyle \left\{\begin{array}{l}r_1 = -2, \\ r_2 = -3, \end{array}\right.\]

$ \text{得}y_{zi}(t) = C_1e^{-2t} + C_1e^{-3t} $

$\to {y'}_{zi}(t) = -2e^{-2t} + -3e^{-3t} $

\[\to \text{设t = 0} \displaystyle \left\{\begin{array}{l} y_{zi}(0) = C_1 + C_2 = 1 ,\text{(1)} \\ -2C_1 -3C_2 = 1, \text{(2)} \end{array}\right.\]

\[\to \text{得} \displaystyle \left\{\begin{array}{l}C_1 = 4, \\ C_2 = -3, \end{array}\right.\]

$\to \text{即} y_{zi} = 4e^{-2t} - 3e^{-3t} , (t\succeq 0) $