CSP初赛复习-30-球盒问题

球盒问题

球盒问题是把n个小球放入m个盒子中，有多种中不同的方法

球盒问题涉及3个关键因素

小球是否相同

盒子是否相同

是否允许为空

根据上述3个关键因素，球盒问题一共8种类型

1 n个相同小球，m个相同盒子，允许有空盒子

2 n个相同小球，m个相同盒子，不允许空盒子

3 n个相同小球，m个不同盒子，不允许空盒子

4 n个相同小球，m个不同盒子，允许有空盒子

5 n个不同小球，m个相同盒子，不允许空盒子

6 n个不同小球，m个相同盒子，允许有空盒子

7 n个不同小球，m个不同盒子，不允许空盒子

8 n个不同小球，m个不同盒子，允许有空盒子

上述8种类型，大概分为三类

1 同球同盒

n个相同小球，m个相同盒子，允许有空盒子

例题

5个相同小球，放入3个相同盒子，允许空盒子，问有多少种不同的放法？

分析

解题思路 -枚举-非递减整数枚举

1个盒子

5

2个盒子

1 4
2 3

3个盒子

1 1 3
1 2 2

总共有 1 + 2 + 2 =5 种不同的放法

解题思路 -递推求解，具体参考

P2386 放苹果

https://www.luogu.com.cn/problem/P2386

n个相同小球，m个相同盒子，不允许空盒子

例题

5个相同小球，放入3个相同盒子，不允许空盒子，问有多少种不同的放法？

分析

解题思路 -枚举-非递减整数枚举

3个盒子都放

1 1 3
1 2 2

总共有2种放法

解题思路 -递推求解，具体参考

P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分

https://www.luogu.com.cn/problem/P1025

2 同球异盒

n个相同小球，m个不同盒子，不允许空盒子

例题

5个相同小球，放入3个不同盒子，不允许空盒子，问有多少种不同的放法？

分析

解题思路 -隔板法

5个小球中间有4个空，用2个隔板分成3部分后分别放入3个盒子

C(5-1,4-1)=C(4,2)=4*3/2!=6

n个相同小球，m个不同盒子，允许有空盒子

借助虚拟球，每个盒子先放入一个球，就等同于盒子不为空

例题

5个相同小球，放入3个不同盒子，允许空盒子，问有多少种不同的放法？

分析

解题思路 - 虚拟球+隔板法

借助3个虚拟球，此题转化为

8个相同小球，3个不同盒子，不允许空盒子

8个小球中间有4个空，用2个隔板分成3部分后分别放入3个盒子

C(8-1,4-1)=C(7,2)=7*6/2!=21

3 异球

解题思路

第二类斯特林数，具体参考

CSP初赛复习-30-第二类斯特林数

https://www.cnblogs.com/myeln/articles/17666030.html

5 n个不同小球，m个相同盒子，不允许空盒子

6 n个不同小球，m个相同盒子，允许有空盒子

7 n个不同小球，m个不同盒子，不允许空盒子

8 n个不同小球，m个不同盒子，允许有空盒子

CSP初赛复习-30-第二类斯特林数-练习题

https://www.cnblogs.com/myeln/articles/17666033.html