20260813 - 字典树

今天居然没有罚时诶，两个 CE 居然不算！

写 Trie 时应该思考什么

1. Trie 中的一个节点代表什么？
   • 每一个节点的下一个节点，是否是结尾
2. 从根到一个节点的路径代表什么？
   • 存入字符串的前缀。
3. 一个节点的子树代表哪个字符串集合？
   • 代表以根到该节点的路径所代表的前缀为前缀的字符串集合。
4. cnt[u] 和 ed[u] 有什么区别？
   • 前面的是经过点的个数，后面的结尾的个数。
5. 为什么把整数写成二进制后，也可以建立 Trie？
   • 因为写成 \(0/1\) 后可以更好地处理二进制问题。
6. 什么题适合 Trie，什么题不适合？
   • 一般前缀相关的问题都可以通过 Trie 来解决，非前缀比如字符串匹配等问题就不能使用。

令人欣慰的是，今天的字典树代码强度直线下降。

顺带一提，trie 在英式英语中读作 /triː/，在美式英语中读作 /traɪ/，所以 mmt 说的 try 也是有道理的。

A - trie模板

事实证明，封装的 trie 也是有好处的，这样不用每次维护了。

枚举每篇短文，将其所有单词丢进 Trie 里边，然后直接找就行了。

B - Karuta

显然，每个点最大的 LCP 就是离他最近的分叉口，可以用树形 DP 维护。

分叉维护可以在字典树上维护。

C - Secret Message G

观察到，前缀长度等于字符串中较短的长度，分两种情况：如果消息长度比暗号要短，那么去把前缀的 end 数组累加起来；如果消息长度比暗号要长，那么暗去把结尾的 count 数组加进去。

D - Yet Another Sigma Problem

由于子树子串的个数就是在 LCA 位置的个数，所以每次插入的时候直接加上个数。

E - 01trie模板

我们发现异或两次等于没有异或，所以可以考虑每个点到根的异或和。

如果最高位还更大，那么其他位置再大也没有用。

所以贪心的查找，另一边有就往另一边找，没有只好走下去。

F - Perfect Security

由于前面的字典序都小了，那么后面的再大也赶不上。

所以考虑贪心，把 P 数组加入 Trie，每次查找完就删掉。

G - Forbidden Prefix

方法一：其实如果有了一个前缀 \(X\) 插入到了字典树里面，那么字数内所有的 \(Y\) 都挂了。

所以直接打上标记，下次不在访问即可。

方法二：同样的，如果访问到了一个 \(X\)，就打上标记，然后字数内就不访问了。

类似线段树，每次类似 pushup 的时候可以合并每个子树的信息，如果有标记就清空。

H - Edit to Match

注意到，插入后直接判断是长度还是剩下的乘二更小就好了。

I - Dr. Evil Underscores

具体来说，如果全部都在左边，就递归左子树。

如果都在右边，就递归右子树。

如果两边看起来都可以，就分别递归。

诶，时间复杂度不会爆炸吗？

因为深度最大 \(\log n\) 层，所以复杂度不会爆。

J - A Lot of Games

分三种情况讨论

1. 后手能必胜，那么后手如果一直赢就赢了。
2. 先手能必胜，且可以必输，那么先手如果一直输到最后一次赢就可以了。
3. 先手必胜但不能保证必输，那么每次都赢然后交换位置。\(k\) 为奇数时先手赢，反之后手赢。