不等式

一、基本性质

  1. 对称性：\(a > b \Leftrightarrow b < a\)。
  2. 传递性：\(a > b, b > c \Rightarrow a > c\)。
  3. 可加性：\(a > b \Leftrightarrow a + c > b + c\)。
  4. 可积性（\(c > 0\)）：\(a > b, c > 0 \Rightarrow ac > bc\)，
  5. 可积性（\(c < 0\)）：\(a > b, c < 0 \Rightarrow ac < bc\)。
  6. 乘方法则：\(a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n(n \in \mathbb{N},n \ge 2)\)。
  7. 开方法则：\(a > b > 0 \Rightarrow \sqrt[n] a > \sqrt[n] b(n \in \mathbb{N}, n \ge 2)\)。
  8. 倒数法则（\(a\) 和 \(b\) 大于 \(0\)）：\(a > b > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}\)。
  9. 倒数法则（\(a\) 和 \(b\) 小于 \(0\)）：\(a < b < 0 \Rightarrow \dfrac1a > \dfrac1b\)。

二、利用不等式性质比较大小求范围

  1. 已知 \(P = x^2 + xy + y^2\)，\(Q = 3xy - 1\)，求 \(P\) 和 \(Q\) 的大小关系。

若将 \(P\) 和 \(Q\) 作差，得到 \(P - Q = x^2 + xy + y^2 - 3xy + 1\)，化简得 \(x^2 - 2xy + y^2 + 1\)，凑成完全平方得 \((x - y)^2 + 1\)，显然大于 \(0\)，所以 \(P > Q\)。

  1. 已知 \(a = \sqrt7 - \sqrt6, b = \sqrt6 - \sqrt5\)，求 \(a\) 和 \(b\) 的大小关系。

因为 \((\sqrt7 +\sqrt6)(\sqrt7 - \sqrt6) = 1\) 且 \((\sqrt6 + \sqrt5)(\sqrt6 - \sqrt5) = 1\)，所以 \(a = \dfrac{1}{\sqrt7 + \sqrt6}\)，\(b = \dfrac{1}{\sqrt6 + \sqrt5}\)，因为 \(\dfrac{1}{\sqrt7 + \sqrt6} < \dfrac{1}{\sqrt6 + \sqrt5}\)，所以 \(a < b\)。

  1. 求 \(\sqrt7 + 3\) 与 \(\sqrt6+\sqrt10\) 的大小关系。

因为 \(7 + \sqrt{63} + 9 > 6 + \sqrt{60} + 10\)，所以 \(\sqrt7 + 3 > \sqrt6+\sqrt10\)。

  1. 若 \(1 \le a \le 8\)，\(-2 \le b \le 3\)，求 \(a - b\) 的取值范围。

因为 \(-3 \le -b \le 2\)，所以 \(a - b\) 的取值范围就是 \(1 + (-3) \le a - b \le 8 + 2\)，即 \(-2 \le a - b \le 10\)。、

  1. 已知 \(x, y\in \mathbb{R}\)，满足 \(-1 \le x + y \le 3\)，\(4 \le 2x-y \le 9\)，求证 \(2 \le 4x + y \le 15\)。

设 \(a, b \in \mathbb{N}\) 满足 \(\begin{cases} -1a + 4b = 2 \\ 3a + 9b = 15\end{cases}\)，解得 \(\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases}\)。

三、单绝对值型不等式

  1. 求 \(\mid 2x - 1 \mid > 1\) 的解集。

由绝对值的性质可知 \(2x - 1 < -1\) 或 \(2x - 1 > 1\)，解得 \(x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\)。

  1. 求 \(\mid x^2 - 3x - 4 \mid > x + 1\) 的解集。

由绝对值的性质可知 \(x + 1 < x^2 - 3x - 4< -x-1\)，解得 \((-\infty, -1) \cup (-1, 3) \cup (5, +\infty)\)。

  1. \(a > 0, b > 0\)，求 \(\mid ax - 2\mid \ge bx\) 的解集。

由绝对值的性质可知 \(bx \le ax - 2 \le -bx\)，分开得到 \(-bx \ge ax - 2\) 和 \(ax - 2 \ge bx\)，分两种情况讨论：

  1. \(-bx \ge ax - 2\)，则 \((a + b)x \le 2\)，则 \(x \le \dfrac{2}{a + b}\)。
  2. \(ax - 2 \ge bx\)，则 \((a-b)x \ge 2\)，分两种情况讨论：
  • 当 \(a > b\) 时，\(x \in (-\infty, \dfrac{2}{a + b}] \cup [\dfrac{2}{a + b}, +\infty)\)。
  • 当 \(a \le b\) 时，\(x \in (-\infty, \dfrac{2}{a + b}]\)。

四、\(\mid x \pm a \mid \pm \mid x \pm b \mid \le c\) 或 \(\mid x \pm a \mid \pm \mid x \pm b \mid \ge c\) 型不等式

  1. 求不等式 \(|x-4| + |3-x| < 2\) 的解集。

方法一：零点分段法，分成集中情况考虑。

方法二：分几种情况讨论：

  1. 若 \(x \in [3, 4]\)，则 \(|x-4| + |3-x| = 1\)。
  2. 若 \(x \in (-\infty, 3)\)，每往左 \(1\)，结果增加 \(2\)，则类一次函数是 \(y = -2x\)。
  3. 若 \(x \in (4, +\infty)\)，每往右 \(1\)，结果增加 \(2\)，则累一次函数是 \(y = 2x\)。
    显然当左侧 \(\Delta y = 2 - 1\) 时，\(\Delta x = \dfrac{1}{2}\)，当右侧的时候同理也是 \(\Delta x = \dfrac12\)。
    综上，\(3 - \dfrac12 < x \le 4 + \dfrac12\)，即 \(x \in (2.5, 4.5)\)。
  1. 若实数 \(x\) 满足 \(|x-3|+|x-m|<5\)，求 \(m\) 的取值范围。

若 \(x\) 取 \(3\) 得 \(|3-m|<5\)，即 \(-5 < 3-m < 5\)，解得 \(m \in (-2, 8)\)。

  1. 求 \(|x+3|-|x-1|\ge 2\) 的解集。

分几种情况讨论：

  1. 若 \(x \in [-\infty, -3)\)，则 \(|x+3|-|x-1| = -4\)。
  2. 若 \(x \in (1, +\infty)\)，则 \(|x+3|-|x-1| = 4\)。
  3. 若 \(x \in [-3, 1]\)，则形成了一个类一次函数，\(x\) 每增加 \(1\)，\(y\) 增加 \(2\)，斜率为 \(2\)。
    综上，\(-2 \in [-3,1]\)，所以当 \(\Delta y = -2 - (-4)\) 时，\(\Delta x = 1\)，所以 \(x \in [-2, +\infty)\)。

五、二次不等式

注意，如果无解的话，等号取不到。

  1. 解 \(-x^2 + 2x + 3 < 0\)。

解得方程 \(x_1 = -1, x_2 = 3\)，又因为开口朝下，所以 \(x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)\)。

  1. 解 \(-6x^2 + x + 1 > 0\)。

解得方程 \(x_1 = -\dfrac13, x_2 = \dfrac12\)，因为开口朝下，所以 \(x \in (-\dfrac13, \dfrac12)\)。

  1. 解 \(-x^2 + 6x - 9 < 0\)。

因为开口朝下且 \(\Delta = 0\)，所以不取顶点，即 \(x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)\)。

  1. 若不等式 \(ax^2 + bx + 2 > 0\) 的解集为 \(\{x|-\dfrac12<x<\dfrac13\}\)，求 \(a +b\) 的值。

\(x\) 的根为 \(\{-\dfrac12, \dfrac13\}\)，则根据韦达定理可得 \(\begin{cases} -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}6\\ \dfrac{2}{a} = -\dfrac16\end{cases}\)，解得 \(\begin{cases} a = -12\\ b = -2\end{cases}\)，所以 \(a + b = -14\)。

  1. 若不等式 \((a - 2)x^2 + 2(x-2)x-4<0\) 对一切实数 \(x\) 恒成立，求 \(a\) 的取值范围。

分三种情况讨论：

  • 若 \(a = 2\)，则 \(-4 < 0\)，满足条件。
  • 若 \(a > 2\)，则 \(a \in \varnothing\)。
  • 若 \(a < 2\)，则 \(\Delta < 0\)，即 \(4(a-2)^2-16(a-2) < 0\)，解得 \(a \in (-2, 2)\)。
    综上，\(a \in (-2, 2]\)。
  1. 解不等式 \(ax^2 - (2a + 1)x + 2 < 0\)。

因式分解得 \((ax-1)(x-2)\)，分情况讨论：

  1. \(a = 0\)，则 \(2-x>0\)，解得 \(x < 2\)。
  2. \(a > 0\)，分几种情况讨论：
  • \(\dfrac1a > 2\)，则 \(x \in (2, \dfrac1a)\)。
  • \(\dfrac1a = 2\)，则 \(x \in \varnothing\)。
  • \(\dfrac1a<2\)，则 \(x \in (\dfrac1a, 2)\)。
  1. \(a < 0\)，则 \(x \in (-\infty, \dfrac1a) \cup (2, +\infty)\)。

六、分式不等式

  1. 解 \(\dfrac{x-3}{x+1}>0\)。

因为只跟正负号有关，即 \((x-3)(x+1) > 0\)，则 \(x \in (-1, 3)\)。

  1. 解 \(\dfrac{2-x}{x+1} \le 0\)。

即解 \((2-x)(x+1) \le 0\)，则 \(x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)\)。

七、高次不等式

通常用穿针引线法，写成不可约因式的积，求出实数根，从右边开始，遇到奇数重根一次穿过，偶数重根不穿过。

  1. 解 \(\dfrac{(x-3)(x-1)(x+1)^2}{x-4} < 0\)。

根据穿针引线法，得到 \(x \in (-\infty, 1) \cup (3, 4)\)。

八、二次方程根的分布

  1. 已知二次函数 \(y = (m+ 2)x^2 - (2m+4)x + (3m+3)\) 与 \(x\) 轴有两个交点，一个大于 \(1\)，一个小于 \(1\)，求 \(m\) 的范围。

若 \(m + 2> 0\)，可以得到最低点小于 \(0\)，这样交于 \(1\) 所在的的直线一定小于 \(0\)，即它们异号，即 \((m+2)y_{x=1} < 0\)，解得 \(m \in (-2, -\dfrac12)\)。

九、均值不等式（1）

概念

如果 \(a, b \in \mathbb{R_+}\)，可以得到

\[\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \]

推导

\[\begin{aligned} \dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} &= \dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} \\ &= \dfrac{(\sqrt a - \sqrt b)^2}{2} \\ &\ge 0 \end{aligned} \]

即 \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)，当且仅当 \(\sqrt a = \sqrt b\)，即 \(a = b\)，等号成立。

  1. 若正数 \(a,b,c,d\) 满足 \(a + b = cd = 4\)，证明 \(ab\le c+d\)，且等号成立的取值唯一。

根据均值不等式可得 \(ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4}\)，即 \(ab \le 4\)。
同理 \(\dfrac{(c+d)^2}{4} \ge cd\)，即 \((c+d)^2 \ge 16\)，\(c+d\ge4\)。
所以 \(ab \le c + d\)，等号成立当且仅当 \(a=b=c=d=2\)。

  1. 已知 \(x\) 是正实数，证明 \(x + \dfrac1x \ge 2\)。

\(\begin{aligned} x+\dfrac1x &\ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac1x} \\ &= 2\end{aligned}\)

  1. 已知 \(a, b, c,\) 为正实数，且 \(a + b + c = 1\)，求证 \(\dfrac{1}{a} + \dfrac1b + \dfrac1c \ge 9\)。

\(\begin{aligned}\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c &= (a+b+c)(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c) \\&= 3+(\dfrac ba+\dfrac ab)+(\dfrac ca+\dfrac ac)+(\dfrac cb+\dfrac bc) \\&\ge 3+2+2+2 =9\end{aligned}\)

  1. 求 \(x + \dfrac1x(x>0)\) 的最小值。

\(x + \dfrac1x \ge 2\)，所以最小值是 \([2, +\infty)\)。

  1. 求 \(x + \dfrac1{x-2}(x>2)\) 的最小值。

\(\begin{aligned} x + \dfrac1{x-2} &= x - 2 + \dfrac1{x-2} + 2 \\ &\ge 2 + 2 = 4\end{aligned}\)

  1. 求 \(x + \dfrac1x(x<0)\) 的最大值。

\(\begin{aligned} x + \dfrac1x &= -[{(-x)} + \dfrac1{(-x)}] \\ &\le -2\end{aligned}\)

  1. 求函数 \(y = x + \dfrac{1}{x-2}(x<2)\) 的最大值。

\(\begin{aligned} y &= -[(2-x)+\dfrac{1}{2-x}] + 2 \\ &\le-2 + 2 = 0 \end{aligned}\)

  1. 求函数 \(y = \dfrac{x^2+7x+10}{x+1}(x> -1)\) 的最小值。

\(\begin{aligned} y &= \dfrac{x^2+7x+10}{x+1} \\ &= \dfrac{x^2+x+6x+6+4}{x+1} \\ &= x+6+\dfrac{4}{x+1} \\ &= (x+1)+\dfrac{4}{x+1} + 5 \\ &\ge 4 + 5 = 9 \end{aligned}\)

  1. 已知 \(x > 0, y > 0, x + 2y + 2xy = 8\)，求 \(x+2y\) 的最小值。

移项得 \(2y = \dfrac{8-x}{1+x}\)， 可以得到 \(\begin{aligned} x+2y &= x+\dfrac{8-x}{1+x} \\ &= x + \dfrac{-(x+1)+9}{x+1} \\ &= x-1+\dfrac{9}{x+1} \\ &= x + 1 + \dfrac{9}{x + 1} - 2 \\ &\ge 6 - 2 = 3 \end{aligned}\)

  1. 已知 \(x, y\) 为正数，且 \(x+4y=1\)，求 \(z = \dfrac1x + \dfrac1y\) 的最小值。

\(\begin{aligned} (x+4y)(\dfrac1x+\dfrac1y) &= 5 + \dfrac xy + \dfrac{4y}{x} \\ &\ge 4 + 5 = 9 \end{aligned}\)

方法总结

直接法

  1. 若 \(x, y > 0\)，且 \(\dfrac1x+\dfrac4y=1\)，求 \(xy\) 的最小值。

\(\dfrac1x+\dfrac4y \ge 2\sqrt{\dfrac{4}{xy}}\)，即 \(1 \ge 4\sqrt{\dfrac1{xy}}\)，移项得 \(\dfrac{1}{16} \ge \dfrac1{xy}\)，解得 \(xy \ge 16\)，所以 \(xy\) 最小值是 \(16\)。

齐次法

  1. 若 \(x, y > 0\)，且 \(\dfrac1x+\dfrac4y=1\)，求 \(xy\) 的最小值。

因为 \(\dfrac1x+\dfrac4y\) 是负一次式，\(xy\) 是二次式，所以要变成 \((\dfrac1x+\dfrac4y)^2xy\)，即 \(xy \ge 16\)。

凑数法

  1. 求函数 \(y = 2x^2 + \dfrac{8}{2+x^2}\) 的最小值。

\(\begin{aligned} 2(x^2+2) +\dfrac{8}{2+x^2}-4 &\ge 8-4\\&= 4 \end{aligned}\)

柯西不等式

  1. 正数 \(x, y\) 满足 \(2x + y = 3\)，求 \(\dfrac{x+2y}{xy}\) 的最小值。

\(\dfrac{x+2y}{xy} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y}\)，乘起来得 \((2x+y)(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y})\)，依据柯西不等式可得 \((2+1)^2 = 9\)，由于 \(2x + y= 3\)，所以 \(\min = \dfrac93 = 3\)。

换元

  1. 求 \(y = \dfrac{\sqrt{x+2}}{2x+5}(x> -2)\) 的最大值。

设 \(t = \sqrt{x+2}\)，则 \(y = \dfrac{t}{2t^2+1}\)，\(\begin{aligned} \dfrac{1}{2t+\dfrac{1}{t}} \ge \dfrac{1}{2\sqrt2} \end{aligned}\)，即 \(\dfrac{\sqrt2}{4}\)。

和积互化

  1. 若实数 \(x, y\) 满足 \(x^2+xy+y^2=1\)，求 \(x+y\) 的最大值。

设 \(x+1 = t\)，则 \(x^2+2xy+y^2-xy=1\)，即 \((x+y)^2-1=xy\)，也就是 \(t^2-1\)，根据 \(t^2 \ge 4(t^2-1)\)，得到 \(t\) 的最大值是 \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\)。

  1. 若实数 \(a, b\) 满足 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\sqrt{ab}\)，求 \(ab\) 的最小值。

显然，\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{2}{ab}}\)，我们可以得到 \(\sqrt{ab} = 2\sqrt{\dfrac{2}{ab}}\)，即 \(ab=2\sqrt2\)。

综合例题

  1. 已知 \(x, y, n > 0\)，\(nx+y=1\)，\(\dfrac1x+\dfrac4y\) 的最小值为 \(16\)，求 \(n\) 的值。

\(\begin{aligned} (nx+y)(\dfrac1x+\dfrac4y) &= (\sqrt{n}+2)^2 \\ &= 16\end{aligned}\)，即 \(\sqrt n = 2\)，也就是 \(n = 4\)。

  1. 若正数 \(a, b\) 满足 \(\sqrt{3a+4b}=\sqrt{ab}\)，求 \(a+b\) 的最小值。

\(\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3a+4b}}{\sqrt{ab}} &= \dfrac{3a+4b}{ab} \\ &= \dfrac{4}{a}+\dfrac{3}{b}\\ &= 1\end{aligned}\)，所以 \((a+b)(\dfrac{4}{a}+\dfrac{3}{b}) \ge (2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt3\)。

  1. 设 \(a, b > 0\)，\(a+b=5\)，求 \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\) 的最大值。

\((a+1+b+3)(1+1)\ge(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3})^2\)，显然，\(16 \ge \sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\)，最大值就是 \(16\)。

posted @ 2026-08-02 20:14  AKCoder  阅读(2)  评论(0)    收藏  举报